1703444170
1703444171
1703444172
1703444173
图4-2 凯利准则与马科维茨准则对比图
1703444174
1703444175
假设你必须把所有资金全部投入到一个轮盘当中，那么哪个轮盘最好呢？这很难说。这就是为什么说计算“平均”收益有用。有时候会出现这种情况：算数平均收益较大，占据了主导地位，而几何平均数则被忽视。
1703444176
1703444177
第三个轮盘的算数平均数最大。第一个轮盘的几何平均数最大。假设你只有这3个备选，而且必须选择其一，那么凯利准则将会建议你把钱投入到第一个轮盘中。
1703444178
1703444179
根据凯利哲学，第二个轮盘是最糟糕的选择。因为有一项产出结果为0。每次旋转你都有可能会尽失一切。任何把资金放在第二个轮盘中的长线“投资者”最终一定会走向破产。第二个轮盘的几何平均数为0。
1703444180
1703444181
那么，均值方差分析是怎么解释的呢？为了回答这个问题，你必须计算出轮盘收益的方差。我帮你省了这个麻烦——三个轮盘的方差从左至右依次增加。算数平均收益值也是如此。因此，马科维茨理论拒绝从这三个轮盘中做出选择。因为选择哪个都合理。能够承受风险寻求最高收益的投资者可以选择第三个轮盘。安全起见，宁愿牺牲收益的保守投资者可以选择第一个。对于立场介于二者之间的投资者来说，第二个也是不错的选择。
1703444182
1703444183
最后的这个建议让人特别难以理解。大多数人会认为中间的轮盘风险最高，因为只有这个轮盘存在全部亏损的风险。但第二个轮盘的方差比第三个低，因为其产出结果更集中。这就是方差并不能很好评估风险的事例之一。
1703444184
1703444185
马科维茨和凯利的方法之间一致认同的一点就是多样化的价值。通过对每匹马下注实现“多样化”的赌马者比将全部赌注押在一匹马上的人（有损失所有赌金的风险）获得的几何平均收益值高。对于购买多只股票实现多样化的投资者也是如此。
1703444186
1703444187
对于投机者来说，有两种方法可以应用大数定理。约翰·凯利在他的文章中对这两种方法都有所提及。文章中，他无意涉及20世纪的性别问题，他只是描述了一个赌徒，他的妻子批准他每周可以进行1美元投注，而且不许他再用过去几周赢的钱再次进行投注。
1703444188
1703444189
这个赌徒应该忽略凯利准则。他最好选择算数平均收益值最高的赌博。因为这个惧内的赌徒获得的利润并没有呈复合型增长，而只是简单的累加。
1703444190
1703444191
这个赌徒最好选择上述第三个轮盘，其算数平均数最高（$1.75）。赌博一年后，根据大数定理，赌徒的实际周收益将接近期望值。年底时，赌徒将会拥有1.75美元的52倍左右，即91美元（减去52美元总赌资，总利润为39美元）。
1703444192
1703444193
如果这个每周投注1美元的赌徒选择第一个轮盘，他将拥有78美元（利润为26美元），如果选择第二个轮盘，他可能会拥有87美元左右（利润为35美元）。
1703444194
1703444195
只有当赌博利润可以进行再投资时，凯利准则才能发挥作用。假设赌徒开始用1美元投注，然后每周利用赢得的钱进行再投资（他并不额外增加赌资，也不减少现有赌资），如果这个赌徒选择第一个轮盘投注，他每周可以期待财富增加1.41倍。52周之后，他的财富将变成：
1703444196
1703444197
$1.4152=$67108864
1703444198
1703444199
也就是，凯利的赌博者可以将1美元变成数千万美元。对比一下其他两个轮盘的情况。选择第二个轮盘进行复合投资的赌博者预期收益为：
1703444200
1703444201
$052=$0
1703444202
1703444203
啊！这个赌徒一年赌下来几乎可以确定最终财产为0！一旦发生这种情况，他就破产了。
1703444204
1703444205
如果选择第三个轮盘，结果估算如下：
1703444206
1703444207
$1.2252=$37877
1703444208
1703444209
上述数据都无法“保障”。大数定理并不是这样发挥作用的。或多或少的幸运旋转都会让结果截然不同。几乎可以肯定地说，第一个轮盘的收益要远远超出第三个，而任何连本带利押注第二个轮盘的傻瓜最终都会破产。
1703444210
1703444211
标准的均值方差分析并未涉及复合投资问题。你或许会说这是专门为每周投注一美元的凯利赌徒设计的理论。但是，当通过复合投资而积累的财富值远远超出其他投资方法获得的收益时，实用的投资理论在很大程度上都必须是再投资的理论。
1703444212
1703444213
当你尝试将马科维茨理论应用到复合投资中时，结果是荒谬的。爱德华·索普对凯利准则的历史所做的一个理论贡献就是在1969年发表了一篇文章，在文章中他表明均值方差分析与几何平均数最大化准则之间存在部分出入。文章结尾处索普总结称，“凯利准则应该代替马科维茨准则来指导投资组合决策。”
1703444214
1703444215
也许当时没有经济学家敢发表这样的异端邪说。貌似不可能有大型经济学杂志会刊登这样的言论。索普的文章最后发表于《国际统计学会评论》（Review of the International Statistical Institute）。或许几乎没有经济学家看到这篇文章。不管怎样，几乎没有经济学家听说过约翰·凯利这个人。但这一状况即将发生改变。
1703444216
1703444217
1703444218
1703444219