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只有当赌博利润可以进行再投资时，凯利准则才能发挥作用。假设赌徒开始用1美元投注，然后每周利用赢得的钱进行再投资（他并不额外增加赌资，也不减少现有赌资），如果这个赌徒选择第一个轮盘投注，他每周可以期待财富增加1.41倍。52周之后，他的财富将变成：
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$1.4152=$67108864
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也就是，凯利的赌博者可以将1美元变成数千万美元。对比一下其他两个轮盘的情况。选择第二个轮盘进行复合投资的赌博者预期收益为：
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$052=$0
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啊！这个赌徒一年赌下来几乎可以确定最终财产为0！一旦发生这种情况，他就破产了。
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如果选择第三个轮盘，结果估算如下：
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$1.2252=$37877
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上述数据都无法“保障”。大数定理并不是这样发挥作用的。或多或少的幸运旋转都会让结果截然不同。几乎可以肯定地说，第一个轮盘的收益要远远超出第三个，而任何连本带利押注第二个轮盘的傻瓜最终都会破产。
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标准的均值方差分析并未涉及复合投资问题。你或许会说这是专门为每周投注一美元的凯利赌徒设计的理论。但是，当通过复合投资而积累的财富值远远超出其他投资方法获得的收益时，实用的投资理论在很大程度上都必须是再投资的理论。
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当你尝试将马科维茨理论应用到复合投资中时，结果是荒谬的。爱德华·索普对凯利准则的历史所做的一个理论贡献就是在1969年发表了一篇文章，在文章中他表明均值方差分析与几何平均数最大化准则之间存在部分出入。文章结尾处索普总结称，“凯利准则应该代替马科维茨准则来指导投资组合决策。”
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也许当时没有经济学家敢发表这样的异端邪说。貌似不可能有大型经济学杂志会刊登这样的言论。索普的文章最后发表于《国际统计学会评论》（Review of the International Statistical Institute）。或许几乎没有经济学家看到这篇文章。不管怎样，几乎没有经济学家听说过约翰·凯利这个人。但这一状况即将发生改变。
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赌神数学家：战胜拉斯维加斯和金融市场的财富公式 [:1703441607]
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赌神数学家：战胜拉斯维加斯和金融市场的财富公式 香农的恶魔
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从某种程度上讲，克劳德·香农简直是有效市场理论帮派最糟糕的噩梦。他是个聪明的家伙，轻而易举就从市场中赚到大笔钱。他将自己强大的天赋运用到套利问题上。20世纪60年代中期，香农开始定期在麻省理工召开会议，就科学投资这一议题进行讨论。参会人员来自各行各业，其中包括保罗·萨缪尔森。
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大约在1966年和1971年，香农在麻省理工做了好几次关于投资的讲座。那个时候，广大麻省理工社区的人们已经对香农在股市中的机敏故事有所耳闻。想要参加讲座的人太多，以至于不得不将讲座地点转移到麻省理工最大的一个报告厅。
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香农的主要研究议题是利用股票波动赚钱的惊人计划。股价上涨时你可以从中获利（买低卖高）。股价下跌时你仍可以获利（卖空）。你需要做的就是了解价格的走向。而巴舍利耶、肯德尔和法玛都曾表明做到这一点是不可能的。
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香农阐述了一个通过随机游走赚钱的方法。他让观众试想一只价格随机上下波动的股票，上下波动并不存在整体趋势。然后把一半资金投入股票，另一半放在“现金”账户中。每天，股票的价格都会发生变化。每天中午你都要“调整”投资组合。也就是说，你要计算出整个投资组合（股票+现金账户）现在的价值，然后从股票投资中抽出一部分加到现金账户或者从现金账户抽出一部分加到股票投资当中，这样做的目的是与最初股票和现金投资各一半的组合方式保持一致。
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说得更清楚一点：假设你的起始资金为1000美元，其中500美元买股票，另外500美元存入现金账户。假设第一天股票价格减半（这只股票非常不稳定），那么你的总资金就变成了750美元，其中包括250美元股票和500美元现金。此时的投资组合中，现金投资比例较大。为了保持平衡，你要从现金账户中取出125美元用来购买股票。这样，新的投资组合就变成了375美元股票+375美元现金，与最初的比例相同。
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重复上述做法。假设第二天股票价格翻倍，那么375美元的股票价值就变成了750美元，加上375美元现金，你的总资金一共是1125美元。这一次你要卖掉一些股票，然后把钱存入现金账户，最终保持股票与现金的投资都为562.50美元。
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现在我们来看一下到目前为止香农的计划有什么收获。在股票价格经过戏剧性的变化又回到最初价格时，购买并持有股票的投资者利润为0，而香农的投资者却获得了125美元利润。
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这一计划与大多数投资者的直觉背道而驰。大多数人都喜欢把钱投入到股价上涨的股票中不动。如果股价一直上涨，他们就会把更多的闲钱投入到股票中。而在香农的策略中，股价上涨时，你反而会卖掉一些股票。股价下跌时你还会增加投入股票的钱——“花冤枉钱”。
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下面我们看看结果。图4-3中下方的那条线表示的是一只假想的股票的价格，起始价为1美元，每时间单位价格翻倍或减半的概率相等。这是一种几何随机游走，是股价波动的流行模式。这里，股价波动的基本趋势既不是向上，也不是向下。因此，下方这条线代表了把所有钱投入股票中并持有的投资者的财富值（假设没有股息）。
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图4-3 香农的恶魔