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多样化投资对于21点团队玩家起效甚好，因为各赌桌玩家的运气是没有什么关联的。这种方法对于普林斯顿–纽波特公司也起效甚好，因为各赌博活动之间的关联度通常也是很低的。基金公司设计的对冲交易对普通的市场波动并不敏感。索普还设计了使交易“稳度中立”的方法，无论市场低迷还是紧张都不会对收益造成太大影响。
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不幸的是，普通股票投资者的多样化操作只能达到这个程度。为了利用多样化操作规避一些风险，他可以选择购买指数基金或者其他均衡的投资组合，但遭遇市场崩盘的风险仍然很高。他还可以购买全球基金来提高多样化水平，但这也存在限制，因为在我们的全球经济中，实际上所有股票和股票市场都存在不同程度的关联。东京的市场崩盘同样会使纽约的股市低迷。
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因此，凯利准则对普通股票投资的吸引力是有限的。任何将全部资产投入股票的人都不得不接受财产出现大幅度缩水的情况。这一事实对于凯利投资的批评者们意义重大。对于索普和他的对冲基金来说，却在很大程度上是无关紧要的。
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1987年10月19日黑色星期一的崩盘对普林斯顿–纽波特公司的市场中立性进行了严峻的考验。道琼斯指数的价值在一天之内下跌了23%，是有史以来单日下跌幅度最大的一次。而普林斯顿–纽波特公司价值6亿美元的投资组合在这次崩盘中仅蒸发掉200万美元左右。索普的计算机立即发出警报，提醒他这种惊慌失措估价情况中暗含丰富的机遇。在这种价格随意下跌的情况下，根本没有买家接手，因此卖家也就不可能脱手。尽管如此，索普当日和次日在新交易中一共赚了200万美元左右的利润。1987年10月，普林斯顿–纽波特公司的当月表现基本持平，不赔不赚。而大多数互惠基金都亏损了20%甚至更多。令人震惊的是，普林斯顿–纽波特公司当年的年收益率居然高达34%。
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黑色星期一对于有效市场假说也是一次严峻的考验。很多人很难理解对市场价值的合理评估如何仅在一天之内就改变了23%，而且除崩盘本身外并没有其他重大利空消息出现。
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黑色星期一几乎没让任何经济学家摒弃有效市场假说。“合理性”和“有效市场”等术语中包含了回旋余地。人们可能会争论说，市场的表现是合理的，因为在崩盘之前的几周里出现了若干令人沮丧的经济新闻，这才导致最终的崩盘。或许，据有人提议称，此次崩盘是一种延迟反应，就像抢椅子游戏一样，每个投资者都“理性地”试图抢在别人行动之前的一刹那进行抛售。这样一来，这种纯粹的混乱局面就可以被解释为有效市场的副作用……
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对于股票价格的几何随机游走模型来说，黑色星期一是一个更加清晰的反例。实际崩盘的严重程度比这个流行的模型所预测的要大得多。
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马克·鲁宾斯坦（在这次崩盘中发挥了重要作用的投资组合保险的共同发明者）估计，市场在一天之内下跌29%（正如标准普尔的表现）的概率为1/10160。这个数字相当于“1”后面加160个“0”。根据鲁宾斯坦的说法：
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发生这种事情的可能性实在是微乎其微。就算股票市场能持续200亿年，也就是人们现在预估的宇宙的生命极限，也不可能预料到会发生这样的事情。实际上，宇宙每次大爆炸后都会重生并持续200亿年，但即使经历200亿次宇宙大爆炸，股市也不应该发生这种情况。
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崩盘并不是一个新概念，早在1929年时就曾有过一次。尽管（正如鲁宾斯坦的话所暗示的）半个世纪后的很多经济学家似乎并没有对此太过在意，但罗伯特C.默顿却注意到了这一点。在20世纪70年代默顿曾写过，市场可以表现得像一只跳蚤，也能表现得像一只蚂蚁。大多数时候，股票价格就像蚂蚁一样来回徘徊。偶尔，价格会像跳蚤一样跳跃。默顿推理称在期权定价时应该把这种跳跃的情况考虑进去。这些跳跃情况的存在表明，很多流行的模型，包括布莱克-斯科尔斯公式在内，并不是完全准确的。
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凯利系统与包括对数正态随机游走模型在内的任何预测市场“应该”如何表现的特殊模型之间并没有紧密联系。几何平均数最大化的方法适用于跳蚤般的跳跃，也适用于任何可以精确描述的模型。相反，均值方差分析则不适合处理股价呈跳蚤般跳跃的情况，因为无法仅通过马科维茨理论运用的两个数字描述出来。
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[1] 杰克·科沃基安是一位病理学家，退休后一直在美国推动安乐死。——译者注
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[2] 第二次世界大战末期，日本空军中驾驶满载炸弹之飞机做自杀性攻击的突击队被称为神风突击队。——译者注
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赌神数学家：战胜拉斯维加斯和金融市场的财富公式 我的外国表哥
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1988年，阴霾过后，保罗·萨缪尔森给斯坦福大学信息理论学家托马斯·科沃写了一封信。科沃曾寄给萨缪尔森一篇关于投资组合理论的论文，求他帮忙审阅。萨缪尔森在信中写道：“如果我曾用过你的一些算法，我也绝不会让其误导我的投资组合选择，以至于使其偏向于我的外国表哥利用对数（财富）效用函数做出的选择。”他斥责的是凯利、拉塔内、马科维茨和“6月份都在讨论泊松分布概率的各类博士”。
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科沃因收到大名鼎鼎的萨缪尔森的来信而感到万分荣幸（尽管他的论文被撕成了碎片）。科沃起草了一封机智的回信。这封信开启了他们之间长达数年的通信联系。率性而为的萨缪尔森渐渐摒弃华丽的辞藻，将凯利系统称为“彻底的骗局”。萨缪尔森告诉科沃，“忽视余数近似值的数学家们应该被切成两段，然后四等分，然后……”
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萨缪尔森在给科沃写的最后一封信中用了单音节词。他写道：“如果我欣赏你判断概率的方法，我不必（也不会）利用你的增值方法。我们曾讨论过这个问题，为什么还要来来回回地说呢？”
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赌神数学家：战胜拉斯维加斯和金融市场的财富公式 第五部分 《反诈骗腐败组织集团犯罪法》的故事
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伊凡·博斯基
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伊凡·博斯基的身份和他的所作所为永远都蒙着一层神秘的面纱。他告诉人们他的父亲是俄罗斯移民，在底特律经营熟食连锁店。实际上，他父亲经营的是名为“黄铜铁道”（Brass Rail）的半裸脱衣舞连锁酒吧。他的一个叔叔经营的是一家熟食店。
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