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大数定律的意思是，一个随机变量[3]的取值（taking value，比如不同家庭因火灾的损失）可能是随机的，但是只要样本（sample）数目足够大，或者重复次数足够多，这些取值的平均值几乎就是一个常数。通俗地说，相似个体（个人、家庭、企业等）组成的大型群体的平均行为，比小型群体的平均行为，更容易预见。
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一个人的行为没有规律，但一个大群体的行为必定体现为某种严格的规律，或者“平均数”，个别人的不确定行为在大群体中将会消失。比如某个人在久病父母床前，是否总能耐心照料呢？不好确定，有的能，有的不能。但一个大群体，是可以确定的，即不会。所以，久病床前无孝子，就符合大数定律，能代表全体人。个别人孝顺，不是大数定律，不能代表整个群体，这是正常的人性的反映。
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这个大数定律下的平均数就是数学期望（mathematical expectation）。我前边提到过这个概念，现在详细解释一下。数学期望的准确含义是，随机变量每种结果的取值与该取值出现概率乘积之和。数学期望，说白了，就是平均值，不过是更严格意义上的平均值。平时说的确定情况下的平均值，不过是数学期望的一种特殊情形。
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比如一个随机变量，有三种取值，每种取值出现的概率分别是0.5、0.3、0.2（注意概率之和必须是1），取值分别为10、20、40，则
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公式16–1
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注意，必须保证不同变量的取值是不相关的，也就是这一次取值和下一次取值之间没有关系，比如这一家因火灾损失的数目和另外一家没有关系。而一个人得了传染病就是相关的，因为能传给别人。
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大数定律和保险
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大数定律跟保险有什么关系呢？保险公司是靠收保险费（insurance premium）来维持运营和赢利的。保险费怎么收？首先就要确定保险事件发生后的赔偿额，这取决于投保人平均的损失额。根据大数定律，只要投保人足够多，损失额，或者需要的赔付额（premium），就是一个常数。
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比如有10 000个家庭投保了火灾险，每个家庭的平均财产价值100万元，如果火灾发生的概率是1%，每个家庭因灾的平均损失是10万元（数学期望）。那么，保险公司只要向每个家庭收取1 000元[4]的保险费，就可以把火灾的损失在10 000户之间分摊和消除。当然，保险公司还要考虑到自己的成本支出和赢利，以及和其他保险公司竞争等条件，综合确定最后的保费。
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只有风险事件才是可以保险的，因为能预先确定保险事件发生的概率。因此，概率的计算特别重要。现代保险业的发展多赖概率统计方法的进步。比如人寿保险，虽然在15世纪就有了，但却是在哈雷生命表（Halley’s Table）诞生之后，才获得迅速发展的。哈雷生命表是哈雷[5]以英国某市的有关资料为基础计算的不同年龄死亡概率表，为寿险计算提供了精确、科学的依据。
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对风险的态度与保险
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经济学家根据对风险的态度，把市场参与者分为风险偏好（risk prefer）、风险厌恶（risk averse）和风险中性（risk neutral）三类。
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如何划分呢？
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跟商品遵从边际效用递减规律（the law of diminishing marginal utility）类似，经济学家认为，大部分人也遵从货币边际效用递减的规律，也就是说，随着货币数量的不断增加，人们获得的效用[6]在增加，但增加的速度越来越慢，后一单位货币没有前一单位货币的效用大。这样的人，是风险厌恶者。
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如果认为自己的效用值随着货币数量的增加而以更快的速度增加，即边际效用递增，那么这样的人，就是风险爱好者。
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如果认为自己的效用值随着货币数量的增加而增加，并且增加的速度保持不变，这样的人，就是风险中性者。
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可以用赌博（gamble）为例，进一步说明。
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如果一种赌博，其收益的数学期望值为零，那么这种赌博叫作“公平赌博”。比如扔硬币定输赢的赌博，胜负概率都是50%，假如输赢的标准都是1 000元，则赌博收益的数学期望是：
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公式16–2
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如果一种赌博，其收益的数学期望值大于零，或者赢的可能性大于50%，那么这种赌博叫作“有利赌博”。比如有90%的可能性赢10 000元，10%的可能性输10元，那么这场赌博收益的数学期望值是：
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公式16–3
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如果反过来，有90%的可能性输10 000元，10%的可能性赢10元，收益的数学期望值小于零（–8 999元），就叫“不利赌博”。
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风险厌恶者是一群在预期收益确定的情况下（没有收益不可以）希望风险越小越好的人，绝不会参加公平赌博，因为没有收益，他们只会参与有利赌博，因为有预期的正收益，且风险低。
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