1703536279
预见相关性：风险管理新范例 [:1703535705]
1703536280
预见相关性：风险管理新范例 2.4 准确相关性的价值
1703536281
1703536282
持有一个资产投资组合的风险必须得到评估并且要与以目前形势来预期的收益率进行比较。如果不冒风险，那么不会有超额的收益率，但是不是所有的风险都值得去冒。与对收益率的协方差矩阵估计不当有关的经济损失起因于对投资组合风险的错误评估，从而造成一个不理想的投资组合选择。这个投资组合可能比预期有更大的风险或者更小的收益率。在这个选择中，可以通过计算这些错误带来的经济代价作为一种评价协方差矩阵估计量的测度方法。这个观点在Engle和Colacito（2006）中得到发展。这里重新讲述投资组合理论中一些熟悉的结果是有益的。
1703536283
1703536284
如果投资组合的权重用向量w表示，N个风险收益率的向量是rt，并且无风险利率是rf，那么投资组合的收益可以表示为
1703536285
1703536286
1703536287
1703536288
1703536289
因此，如果设
1703536290
1703536291
1703536292
1703536293
1703536294
则投资组合的均值和方差为
1703536295
1703536296
1703536297
1703536298
1703536299
在传统的马科维兹投资组合理论中，一个投资组合的风险是给定一个时期内投资组合的期望方差，并且与这个投资组合同一时期的预期收益率进行比较。假定这个投资组合的所有资产时间要么较长要么较短，那么将有三个最优投资组合规划问题：
1703536300
1703536301
1703536302
1703536303
1703536304
通过改变约束集，式（2-29）或式（2-30）能够用于探寻一个有效的投资组合边界。从这个边界得到的最优选择可以直接或间接由问题式（2-31）表示，式（2-31）表明了投资者的效用函数。我们把注意力转向第一个问题式（2-29），这个问题有一个解，解的大小取决于要求的超额收益率μ0
1703536305
1703536306
1703536307
1703536308
1703536309
风险资产权重的和可能小于1，也可能大于1，这取决于投资者现金是否充足。μ0越大，持有的现金越少，则风险越大。然而，风险资产的投资组合的构成不会发生改变。如果资产是独立的，那么有更高预期收益率和更小方差的资产权重会更大。然而，由于具有一个完全协方差矩阵，相关性会造成一些麻烦，所以这个观点并不完全准确。当μ0是0的时候，所需的收益率能以无风险利率得到，所以风险资产的所有权重都是0。
1703536310
1703536311
如果资产有相同的期望收益率，那么投资组合的权重将被选择来最小化方差。最优的投资组合由最小方差的投资组合和现金构成。我们通过替代μ=ιμ1（这里ι是单位向量，μ1是所有资产的预期超额收益）可以容易看到这个结果。如果μ0=μ1，那么这个解不包括任何现金，而且等同于没有无风险利率的问题。
1703536312
1703536313
这个框架也可以处理紧密相关的对冲问题。如果世上的一个资产必须以一个投资组合形式持有，而且人们持有其他资产的目的仅仅是降低风险，那么这个问题可以表示为
1703536314
1703536315
1703536316
1703536317
1703536318
当μ=e1μ1时式（2-29）的解提供了完全相同的风险资产投资组合。也就是说，为了找到关于资产1的一个最优对冲，投资者假定只有第一个资产的期望超额收益率不是0。一般来讲，至少当μ0<μ1时，最优的对冲会包含一些现金头寸。这种方法能够分析大范围的多头——空头对冲。更为复杂的对冲考虑到了对冲中所用资产的期望收益率。
1703536319
1703536320
最后，通过设定与一个基准投资组合有关的风险和收益率来公式化一个误差追踪问题通常是自然的。如果rb是基准投资组合的收益率，那么这个问题成为
1703536321
1703536322
1703536323
1703536324
1703536325
注意到，rb确切起了无风险利率的作用。任何基准投资获得的期望超额收益率为0，而且不会有风险。因此，如果将μ解释为超过基准的期望收益率，将V解释为超过基准的收益率协方差矩阵，那么上面公式化的问题都用一个基准来表示。
1703536326
1703536327
1703536328
现在考虑由一个经理选择的资产组合，这个经理对收益率协方差和期望收益率有错误的估计。假设他认为期望收益率是m，收益率协方差矩阵是H，他将选择的资产组合由式（2-32）给出，其中H和m代替了它们的实际值。如果我们把这些权重记做是，那么可以得到