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注意到,与高斯Copula和t-Copula不同,这个n-维联合分布只有一个未知参数。典型的事实是阿基米德Copula有少量参数。任何两个随机变量间的相关性明显是相同的。对这些主题和拓展的进一步讨论可参见McNeil等人(2005)和其中的参考文献。最近的一次综述可参见Kolev等人的研究(2006)。
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在一些有趣的经济学应用中发展了动态或半参数Copula。Poon等人(2004)、Jondeau和Rockinger(2006)、Patton(2006b)和Barteam等(2007)用时变Copula考察了非线性相关性。Chen和Fan(2006)和Chen(2007)发展了新的方法来估计动态Copula。
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预见相关性:风险管理新范例 2.3 相关性的测度
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现在可以对一般的多元密度函数定义相关性测度方法。如上所述,相关系数是对线性相关的一个测度,并且对于非线性转换会发生变化。找到下面这样的一些转换并非难事,这些转换使得一个随机变量和它的转换之间是线性无关的,即使它们之间存在完全的依赖关系。一个简单的例子是,一个对称的0均值随机变量和它的平方之间是不存在线性相关的。既然一个随机变量集的依赖关系由Copula来测度,那么自然有一些测度值不随边际分布而变化。对于数据的非线性单调变换,任何这样的测度值都将是不变的。
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很明显简单皮尔森相关系数不是这样一个测度值。它不仅由Copula唯一决定而且还取决于边际密度函数。但是,可以用上面讨论过的meta-高斯分布来构造一个不变的测度值。这种情况下,准相关系数定义为准观测值的皮尔森相关系数。准观测值的构造首先需要知道边际分布,然后利用这个边际分布来获得这个分布中的一致随机变量,最后通过乘以标准正态分布的反函数将其转换成正态分布变量。这样的准相关系数对于初始数据的非线性转换是不变的,并且由Copula唯一决定。这种测度方法可以表示为
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这个测度值被称作准相关系数,因为它不是初始数据的相关系数而是数据转换后的相关系数。对边际密度的一个一般设想要使用到经验分布函数,这意味着标准化的排列先被看作统一的随机变量U,然后被转换成一组标准正态变量。
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一个紧密相关的测度值是等级相关系数或者斯皮尔曼相关系数。这被定义为分位数或所有U的简单相关系数。由于输入值不随边际密度函数的改变而改变,并且不随数据的单调变换而变化,所以等级相关系数是
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这两个测度值一般是不相同的,但非常接近。如果Copula是高斯Copula,那么它们可能会有相同的期望。如果Copula不是高斯Copula,那么会存在一些设定,这些设定中的估计量有相当大不同。举个例子,如果Copula关于两个变量有相当大的概率接近0或者1,那么准正态分布会有接近±∞的观测值并且会导致有比等级相关系数更高的准相关系数。
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另一个普遍使用的测度相关性的方法是Kendall’s tau。为了定义这个测度方法,我们考虑两个随机变量的两个观测值:(y1,x1)和(y2,x2)。如果y1>y2且x1>x2或者y1
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τ=P(concordant)-P(not concordant)
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=2P(concordant)-1 (2-20)
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很明显这个测度值不会随着数据的单调转换而变化,并且它能从Copula直接计算得到。
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所有这三种衡量方法——准相关方法,等级相关系数法和Kendall’s tau方法——都是对相关关系的非参数测度方法,因此,它们对所假设的分布和异常值来说都是稳健的。每个测度方法都描述了关于结果的全部范围的相关关系。
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其他的一些测度方法考虑了关于极端值的依赖特征。一个关于极端值依赖性的测度方法是尾部相关性方法。这是一种测度联合极端值的方法。对于任何特别的分位数α,我们能够定义在另一个随机变量超过这个分位点的条件下,一个随机变量超过这个分位点的概率。通过变换下面的不等式(2-21),一个类似的定义可以用于上分位数
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低尾相关性(Lower tail dependence)被定义为分位数趋于0的概率极限:
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上尾相关性(upper tail dependence)是当分位数趋于1的概率极限。这是一种仅仅取决于分位数的测度方法,所以它是Copula的一个特征。
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对风险管理来讲,测度低尾相关性是特别重要的。由于它是最重要的极端风险,所以有必要用一个Copula来准确地刻画多重资产同时出现极小收益率的概率特征。简单相关系数不能准确揭示出尾部相关性。一个非常重要的例子是高斯Copula。对于这样的联合密度函数,尾部相关性总是0,与其相关结构无关,因为极端事件总是没有关联。多元正态分布函数意味着极端风险能够被相当容易地分散。然而对于资产收益率的尾部行为表现,它不是一个好的描述。
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