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这些协方差估计量在弱的假设条件下是正定的。在矩阵表达式中，这些条件更容易看到。设yt是n×1资产收益向量，那么这些估计量可以写成
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由于每个估计量是半正定矩阵的平均或者加权平均，所以估计量至少是半正定的。如果最开始的H1是正定矩阵，那么指数平滑估计量将是正定的，但一般来讲，正定性对ys的假设要求非常弱，比如要求它们有一个非奇异的协方差矩阵并且只是弱相关。当然，历史协方差矩阵不可能是正定的，除非m>n。
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这些估计量都有一个启动（star-up）问题，这个问题要求在样本开始前先假设ys的分布。最简单并且在理论研究中广泛使用的方法是将y的预制样本值（pre-sample values）都作为0。在这种情况下，移动平均模型在最开始的m天快速增加，而在期间逐渐变小。指数平滑模型在整个数据集内出现逐渐下降的效果。经验上讲，这不是很有吸引力。第二个假设是，假设初始的m>n天被用于估计开始的协方差矩阵。这个初始的估计一直到数据m。对于移动平均模型，这是最普遍的方法，但是这个方法很少用于指数平滑模型。第三个假设是，假设预制样本值的协方差矩阵与全部数据的非条件协方差矩阵相同。这种情况下，整个数据集的样本协方差矩阵被用于初始化模型。这普遍用于多元GARCH模型和指数平滑法。但是这个假设也许在一些情况下并没有吸引力。假定数据存在趋势，那么样本均值将不同于预制样本均值，并且会有一个初始调整。向后估计这些值是可能的。尽管这个方法还没有用到任何我所知道的模型中，但是在一些一元波动模型中应用到了这个方法。
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这两个模型中的未知参数经常不是被估计的而仅仅是基于研究者的经验来作出假定。例如，对于所有资产的日度数据，风险计量学会选择λ=0.06。在华尔街，许多协方差被称作“历史的”（historical）并且基于20天或100天的移动平均。虽然这些模型非常简单并且存在一些严重的缺陷，但是对于某些任务，模型的表现很好。
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预见相关性：风险管理新范例 3.2 向量GARCH模型
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多种多元GARCH模型已经被提出并且得到了应用。这些模型已经由几个作者进行了考察，包括Bollerslev等人（1994）以及更近的Bauwens等人（2006）、Silvennoinen和Terasvirta（2008）。我们在这里不讨论具体细节，大致了解一下这些模型的基本介绍就足够了。这些模型能用一个包含协方差矩阵中的每个元素的方程来描述。最流行的这类模型称为对角多元GARCH模型或者对角向量GARCH模型，它只利用前一期的收益率i和收益率j的乘积来表示协方差矩阵的第i，j个元素。例如，对角向量GARCH模型的一个一阶形式是
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协方差矩阵的每个元素只是自身过去信息集的一个函数。这个模型明显包含许多参数并且一般不会具有正定的协方差矩阵。然而，如果对参数施加一些约束条件可以确保得到正定的对称协方差矩阵。普遍使用的一套约束条件被称为对角BEKK并且定义为
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一个简单的约束迫使所有的αs和βs相同，然后要求w矩阵是正定的。这通常被称作一阶标量对角多元GARCH模型或者标量MGARCH模型。
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这个模型有（1/2）n（n-1）+2个未知参数，其中有两个参数出现在截距项中。
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另一方面，许多更复杂的模型也可以得到描述。这些模型使协方差矩阵的每个元素成为数据的平方和交互乘积的一个线性函数。下面是Vec模型，其包含基本元素的一阶形式为
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由于它不仅包含i，j个元素而且还包括数据的平方项、交互乘积项以及过去的条件方差，所以模型会出现许多参数。如果没有大量约束条件，它不一定会有正定的协方差矩阵。虽然这个模型太一般化了以致没有什么用，但它还是在不少特殊情况下得到了应用。
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尽管vec模型有非常多的参数，但它仍然线性于数据的平方项和交互乘积项，这当然是一个严格的约束。从理论角度来看，这种方法是便利的，因为它支持多步分析预测，但它未必与协方差矩阵的变化一致。在第3.4节和3.6节中讨论的模型放弃了这种线性关系约束。
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预见相关性：风险管理新范例 [:1703535709]
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预见相关性：风险管理新范例 3.3 向量GARCH模型的矩阵表达式和结果
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这部分内容比前面部分在数学上要更复杂，读者可以忽略而不影响内容的连续性。有兴趣的读者在这里可以发现一个用向量来表示的更详细分析和一些特例。这部分内容主要依据Engle和Kroner（1995）。对这类模型的一个简单描述是，所有的方差和协方差矩阵都取决于数据的所有平方项和交叉乘积项。这里用vec表示法将其进行了概括。vec方法通过将一个矩阵的所有列堆积成一个非常长的向量来把矩阵转换成一个向量。如果A是一个n×n矩阵，那么vec（A）是一个n2×1向量。如果A是对称的，那么会有许多重复项出现在vec（A）中，因为只有大约一半的元素是唯一的。vec模型能写成