1703536520
1703536521
这里矩阵A和B分别是式（3-17）中所有a和b的值的集合，这些a和b本身都是A*和B*的所有对角元素。这两个引理现在能用来为正定性设定参数约束。
1703536522
1703536523
【引理3-4】如果所有的矩阵A和B都是正半定的，并且如果矩阵Ω是正定的，那么对于任意t，矩阵H将是正定的。
1703536524
1703536525
证明过程再次将两个引理应用到构成Ht的矩阵的和中。
1703536526
1703536527
Ding和Engle接着描述了几个确保正定性条件被满足的参数化过程。在每种情况下，截距矩阵必定是正定的。最简单的模型是标量—对角模型，在这个模型中每个矩阵只是一个参数乘上一个单位矩阵。
1703536528
1703536529
标量—对角模型：As=αsιι′，Bs=βsιι′，这里α和β都是标量并且ι是一个单位向量。
1703536530
1703536531
第二个模型是一个向量外积。
1703536532
1703536533
向量—对角模型：As=asa′s，Bs=bsb′s，这里a和b是n×1向量。
1703536534
1703536535
最后，矩阵外积如下所示。
1703536536
1703536537
矩阵—对角模型：As=ΨsΨ′s，Bs=γsγ′s，这里Ψ和r是矩阵，可能具有降秩。
1703536538
1703536539
很明显，这些模型都满足引理3-4的假设。此外，这些模型的组合也将满足引理3-4。因此，不是所有滞后项都需要有同样的形式，并且ARCH和GARCH项可以是不同类型。
1703536540
1703536541
还可以构建另外的能确保正定性的一般的vec模型。这些模型由Engle和Kroner（1995）提出并且以从事于这些模型的研究生：Yoshi Baba，Dennis Kraft，连同Ken Kroner和我的名字一起命名。这个BEKK表达式为
1703536542
1703536543
1703536544
1703536545
1703536546
如果Ω是正定的，那么上式明显也是正定的。这里的系数矩阵可能是满的、对称的、降秩的、对角的甚至可能是等式的倍数。但是这些情况都不影响矩阵H的正定性或对策性。为了了解这个模型与上面提出的其他模型的关系，我们需要引理3-5。
1703536547
1703536548
1703536549
1703536550
【引理3-5】对于任意三个可乘矩阵A、B和C，vec（ABC）=AC′vec（B），这里符号“”表示一个张量积。
1703536551
1703536552
将（3-21）的两边进行vec运算有
1703536553
1703536554
1703536555
1703536556
1703536557
这很明显像式（3-13）的一个vec模型。这个vec模型中的大的系数矩阵有n2个系数，而不是近n4/4个。这些模型与正定的vec模型的非对角形式是一致的。非对角结构能让一个资产的平方和交互乘积帮助预测其他资产的方差和协方差。考虑到这种可能性似乎是重要的。然而，事实上很少有引人注目的例子出现在文献中。
1703536558
1703536559
1703536560
1703536561
1703536562
预见相关性：风险管理新范例 [:1703535710]
1703536563
预见相关性：风险管理新范例 3.4 不变条件相关系数
1703536564
1703536565
另一类多元GARCH模型由Bollerslev（1990）引入并且被称为不变条件相关模型（constant conditional correlation），或者CCC。这个模型中，每两个资产间的条件相关系数被限制是不随时间变化的（time invariant）。因此，协方差矩阵定义为
1703536566
1703536567
1703536568
1703536569