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条件相关系数再次定义为条件协方差除以条件标准差的乘积，这要用到式（8-12）中收益率的条件协方差矩阵的表达式。每种情况下，模型现在有四项并且最后的三项取决于DCC估计的相关系数。
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因子DCC模型的这个单因子形式比较容易一般化到多因子的情况。如果有K个可观测因子并且这些因子表示为（f1，t，f2，t，…，fK，t）′=Ft，那么双重ARCH模型中以这些因子为条件的收益率的分布可以表示为
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因子载荷矩阵B是一个N×k矩阵。这个例子中，因子被假定为服从一个多元GARCH设定形式，这个多元GARCH有一个随时间变化的k×k协方差矩阵G。当然这再次假定异质性是不相关的并且因子载荷不随时间变化。
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K-因子DCC模型允许式（8-14）的残差有一个DCC设定。现在这个n+k维的残差向量能表示为
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收益率的条件协方差矩阵现在能表示为
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这个表达式能用于定义条件相关系数和上面的联合高斯似然函数。
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K因子DCC模型在经验实施上要比单因子形式的稍微复杂一些，因为现在必须有因子的一个多元GARCH模型。可能它自身是一个DCC模型。然而，有另外的原因解释为什么这个方法是复杂的。当考虑大量因子时，会涉及许多β。如果一个相对不重要的因子被考虑到，那么对于许多资产，也许β不显著。但是，这些β中的一部分可能是大的，且其标准误较大。在这样一种情况下，协方差将以引入噪声的方式包含这个信息。因此，也许减少一些β会有用。如果在一些收益率方程中因子是重要的，那么它们会有助于相关系数估计。但是由于它们不需要出现在所有方程中，所以也许它们应该被设定为0。在什么标准下，一个因子应该被模型化呢？在少量资产中，它足够重要吗？这些问题的答案还不清楚。这种复杂性非正式地暗示了要灵活设定因子DCC模型的重要性。
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预见相关性：风险管理新范例 8.2 因子模型的估计
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为了考察这些相关系数估计量的特性，我们将考察一组18天的大盘股收益率日度数据。数据包含从1994~2004年的2771个观测值。这些股票的标记为：aa、axp、ba、cat、dd、dis、ge、gm、ibm、ip、jnj、jpm、ko、mcd、mmm、mo、mrk和msft，它们都是道琼斯工业平均指数的组成部分。
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8.2.1 MacGyver估计
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我们用MacGyver估计方法来估计DCC模型的全部相关系数。尽管没有必要对每个序列使用同样的GARCH模型，但是在这个研究中还是采用了这个方法。为了解释波动的非对称性，我们使用了GJR或者门限GARCH模型。具体设定为
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MacGyver保存了这些模型中的标准化收益率，并将其作为估计DCC模型的输入数据。对于18个收益率，有18×（17/2）=153个双变量模型。尽管这些模型中有少量模型的结果非常不令人满意，但大多数模型的结果相当合乎标准。举个例子，除了一个α的估计值超过2以外，其他所有α的估计值都在0和0.05之间。类似地，除了相同的双变量估计量β大于4000，大多数β都小于1。其中少数β很小或者为负。尽管如此，中位数还是非常接近我们通常所观测到的值。β的中位数是0.0157，β的中位数是0.9755，所以加起来刚好大于0.99，这保证了相关系数一个良好的持续程度。
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DCC估计产生了153个基于两个参数和无条件相关系数的相关系数时间序列。要立刻考察这么多时间序列是困难的。我们通过观察平均相关系数可以容易看到一些明显的模式。这些将反映美国股票市场中具有一定特点的相关系数实际情况。图8-1中描绘了来自100天历史方法的平均相关系数和来自具有TARCH波动性的DCC模型的平均相关系数。
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图8-1 历史数据均值与DCC相关系数
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历史相关系数和DCC相关系数的轨迹非常相似。历史相关系数相对要大一些，但也许这是选择平滑的结果。一个200天的相关系数会变动更小，而历史相关系数也会有更宽的峰值，这会导致相关系数的估计有些滞后于对信息的反应。153个双变量相关系数的截面标准差反映了历史相关系数比DCC模型变化更大。
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