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在我们的证明中，我们假设需要考虑价格的二阶导数，但对于时间则只需考虑其一阶导数。为什么这样的选择是有效的呢？忽略价格的更高阶导数事实上并不合适。我们之所以这样做，是为了得到BSM公式。在更正式的推导中会说明，这与合约标的收益率的正态分布假设有关。这是我不可忽略的主要的简化。我会在稍后进一步讨论这个问题。关于我们只需要更少的关于时间的导数的假设，则更容易理解。合约标的价格变化是随机的，因此这是一个风险来源。而时间变化是可预期的，因此时间流逝对期权的影响则仅仅是一种成本。
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因此可以得到公式：
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或者：
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其中Γ是期权价格对合约标的价格的二阶偏导数。式（1-4）给出了投资组合的价值变化，或者说当股票价格发生微小变化时，交易员所获得的利润。它由三个部分组成。
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（1）第一部分是gamma效应。由于gamma为正，因此期权持有者能够盈利（这部分利润大致相当于标的股票价格变化平方的一半）。
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（2）第二部分是theta效应。随着时间的流逝，期权持有者会损失一部分钱。
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（3）第三部分代表融资的影响。持有一个已对冲的期权多头的组合相当于借出资金。
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另外，我们将在第2章中看到，从平均上说：
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其中σ是合约标的收益率的标准差，通常也被称为波动率。因此我们可以将式（1-4）写成如下形式：
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因为这个投资组合是无风险的，而且是用借入的资金来进行融资，因此我们可以认为这个组合并不能够获取任何非正常利润，所以式（1-5）的值应等于0。因此，期权的公允价值应满足等式：
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在继续推导之前，我们需要明确这个非正式推导过程中所隐含的一些假设。
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·为了得到式（1-1），我们需要假设市场上存在可交易的合约标的。事实上我们是假设该资产可被卖空，同时能够以任意交易量进行交易，而不会产生任何交易成本。
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·式（1-2）假设做空合约标的所获得的资金的再投资利率，与借入购买看涨期权的资金的利率相同，并且我们假定这个利率是不变的。
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·式（1-3）假设合约标的的价格变动是连续和平滑的。同时正如我们先前所提及的，我们考虑关于价格的二阶导数，但只考虑关于时间的一阶导数。这是个限制性非常强的假设，我们稍后会对其进行深入分析。
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然而，值得注意的是，关于合约标的价格是否会发生漂移，我们并没有做任何假设。我们只是天真地认为，如果一个金融工具的价值会随着合约标的价格的上升而升值，那么它也会受到合约标的价格漂移作用的影响。但是只要把期权和合约标的按合适的比例进行组合，就可以抵消漂移的影响。由于漂移可以被对冲掉，所以期权的持有人并不要求补偿这部分风险。在本章后面讨论对冲时我们将会发现，在现实世界中，资产价格的连续性假设是不成立的，因此方向依赖（directional dependence）的现象会再度出现。
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我们注意到，虽然合约标的价格变化并没有出现在式（1-6）中，但资产价格变化的平方却通过波动率项反映在式（1-6）中。所以delta中性组合的交易员是否能够获利的关键就在于合约标的价格的变化幅度。无论资产收益率是不是服从正态分布，上述结论都成立。只要资产收益率的方差是有限的，这个结论就成立。事实上，如果在泰勒展开式中加入了价格的高阶项，我们会发现，期权价格的变化同样也依赖于更高阶的合约标的价格变化量。
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在适当条件下，式（1-6）对许多金融工具都成立：欧式期权和美式期权，看涨期权和看跌期权，以及许多奇异期权。此式能通过任意一个普通的偏微分方程解法求解。这些解法的封闭形式（若存在封闭解）可以在很多书（如Hull，2005，Sinclair，2010）中找到。交易员应当理解这些解与定价变量和波动率参数之间的关系。我假定大家对此非常熟悉。
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