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另外，我们将在第2章中看到，从平均上说：
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其中σ是合约标的收益率的标准差，通常也被称为波动率。因此我们可以将式（1-4）写成如下形式：
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因为这个投资组合是无风险的，而且是用借入的资金来进行融资，因此我们可以认为这个组合并不能够获取任何非正常利润，所以式（1-5）的值应等于0。因此，期权的公允价值应满足等式：
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在继续推导之前，我们需要明确这个非正式推导过程中所隐含的一些假设。
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·为了得到式（1-1），我们需要假设市场上存在可交易的合约标的。事实上我们是假设该资产可被卖空，同时能够以任意交易量进行交易，而不会产生任何交易成本。
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·式（1-2）假设做空合约标的所获得的资金的再投资利率，与借入购买看涨期权的资金的利率相同，并且我们假定这个利率是不变的。
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·式（1-3）假设合约标的的价格变动是连续和平滑的。同时正如我们先前所提及的，我们考虑关于价格的二阶导数，但只考虑关于时间的一阶导数。这是个限制性非常强的假设，我们稍后会对其进行深入分析。
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然而，值得注意的是，关于合约标的价格是否会发生漂移，我们并没有做任何假设。我们只是天真地认为，如果一个金融工具的价值会随着合约标的价格的上升而升值，那么它也会受到合约标的价格漂移作用的影响。但是只要把期权和合约标的按合适的比例进行组合，就可以抵消漂移的影响。由于漂移可以被对冲掉，所以期权的持有人并不要求补偿这部分风险。在本章后面讨论对冲时我们将会发现，在现实世界中，资产价格的连续性假设是不成立的，因此方向依赖（directional dependence）的现象会再度出现。
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我们注意到，虽然合约标的价格变化并没有出现在式（1-6）中，但资产价格变化的平方却通过波动率项反映在式（1-6）中。所以delta中性组合的交易员是否能够获利的关键就在于合约标的价格的变化幅度。无论资产收益率是不是服从正态分布，上述结论都成立。只要资产收益率的方差是有限的，这个结论就成立。事实上，如果在泰勒展开式中加入了价格的高阶项，我们会发现，期权价格的变化同样也依赖于更高阶的合约标的价格变化量。
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在适当条件下，式（1-6）对许多金融工具都成立：欧式期权和美式期权，看涨期权和看跌期权，以及许多奇异期权。此式能通过任意一个普通的偏微分方程解法求解。这些解法的封闭形式（若存在封闭解）可以在很多书（如Hull，2005，Sinclair，2010）中找到。交易员应当理解这些解与定价变量和波动率参数之间的关系。我假定大家对此非常熟悉。
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在上面的分析中，我们站在交易员的角度，利用交易员对合约标的价格和时间变化如何影响期权价格的了解，推导出了BSM公式的一种形式。这样一来，我们便知道如何从波动率的角度来交易期权。
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到目前为止，我们已经知道期权的公允价值与合约标的收益率的标准差有关。如果期权和合约标的都公开上市交易，那么我们将有两种方法来应用所学的知识。
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（1）通过估计期权存续期内的波动率计算期权的理论价格。
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（2）利用期权的市场价格计算其隐含的标准差或波动率。
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如果我们估计的波动率和市场所隐含的波动率显著不同，那就可以进行相应的期权交易。如果我们预测的波动率比隐含波动率高，我们则可以买入期权，并在合约标的市场进行相应的对冲。预计的利润将取决于隐含波动率与已实现波动率的差。式（1-6）表明这时的收益与两个波动率的差额是成比例的，即
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另外一个可行的方法是用vega来计算delta中性组合的收益。vega用于衡量期权价值对合约标的价格波动率的敏感程度，即隐含波动率每变化一个百分点（比如，从19%变到18%）时，期权价值相应的变化量。这意味着当我们以σ隐含购买期权，如果波动率随后立即上升到σ时，我们的收益为：
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通过对式（1-7）求关于时间的积分，以及利用gamma和vega之间的关系，我们可以证明得到式（1-7）的瞬时利润和式（1-8）的总利润之间的关系，不过知道这一点并没有什么意义。gamma和vega之间的关系为：
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