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在适当条件下，式（1-6）对许多金融工具都成立：欧式期权和美式期权，看涨期权和看跌期权，以及许多奇异期权。此式能通过任意一个普通的偏微分方程解法求解。这些解法的封闭形式（若存在封闭解）可以在很多书（如Hull，2005，Sinclair，2010）中找到。交易员应当理解这些解与定价变量和波动率参数之间的关系。我假定大家对此非常熟悉。
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在上面的分析中，我们站在交易员的角度，利用交易员对合约标的价格和时间变化如何影响期权价格的了解，推导出了BSM公式的一种形式。这样一来，我们便知道如何从波动率的角度来交易期权。
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到目前为止，我们已经知道期权的公允价值与合约标的收益率的标准差有关。如果期权和合约标的都公开上市交易，那么我们将有两种方法来应用所学的知识。
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（1）通过估计期权存续期内的波动率计算期权的理论价格。
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（2）利用期权的市场价格计算其隐含的标准差或波动率。
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如果我们估计的波动率和市场所隐含的波动率显著不同，那就可以进行相应的期权交易。如果我们预测的波动率比隐含波动率高，我们则可以买入期权，并在合约标的市场进行相应的对冲。预计的利润将取决于隐含波动率与已实现波动率的差。式（1-6）表明这时的收益与两个波动率的差额是成比例的，即
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另外一个可行的方法是用vega来计算delta中性组合的收益。vega用于衡量期权价值对合约标的价格波动率的敏感程度，即隐含波动率每变化一个百分点（比如，从19%变到18%）时，期权价值相应的变化量。这意味着当我们以σ隐含购买期权，如果波动率随后立即上升到σ时，我们的收益为：
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通过对式（1-7）求关于时间的积分，以及利用gamma和vega之间的关系，我们可以证明得到式（1-7）的瞬时利润和式（1-8）的总利润之间的关系，不过知道这一点并没有什么意义。gamma和vega之间的关系为：
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假设我们持有一份看涨期权C，其初始定价基于σ隐含，然后变化到σ。定义隐含。那方差的一阶导数就为：
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其中：
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因此式（1-10）中的第二项，即损益项（P/L或P&L）就为：
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其中最后一步的抵销是基于波动率变化不大的现实假设而实现的。这个推导过程并不严密，但其结论却普遍成立。
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这种形式的损益公式对交易员来说更有用，相对于瞬时盈利，他们对总盈利更有兴趣。它也可以简化地认为损益与波动率呈线性关系。如果我们不得不持有期权至到期，并且假设已实现波动率的平均值为σ，那我们也可以获得同样金额的盈利，但这只是平均意义上的盈利。“vega利润”是通过我们不断地再平衡delta来实现的，其数值等于我们不断对冲delta盈利之和。
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这里存在的一个问题是，gamma与期权的在值状态高度相关，很明显当合约标的的价格变化时，gamma也会随之变化。所以盈利是很不稳定的，并且也是路径依赖的。我们将在第7章继续研究这个问题。
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在构建模型时，使用简化假设是完全可以接受的。但如果假设条件错得离谱，以至于模型连最基本的参考作用都没有，那这样的假设就完全不能被接受。因此在继续深入讨论之前，我们需要了解所使用的假设都有哪些局限性。
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