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波动率为常数
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在我们推导BSM的过程中，我们假设波动率为常数，而不是关于时间或合约标的价格的函数。事实上，当我们开始讨论vega时，隐含波动率的变化所带来的影响就强调了这一假设的不一致性。这个基本假设不仅是不正确的，而且我们将会积极地交易波动率的这些变化。虽然也有一些模型考虑了波动率的变化，但我们还是选择使用BSM模型，并记住这个缺陷。这和我们的交易哲学是一致的，即模型只是关于我们想法的一个框架，而不是对现实市场的精确描述。
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对收益率分布的假设
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我们假定波动率是描述合约标的收益分布的唯一参数。资产收益的均值可以被对冲掉，而高阶矩则可以忽略不计。这和假设收益率服从正态分布或价格服从对数正态分布是相同的。在第3章中，我们考察了真实市场的统计数据，然后发现我们的假设是不成立的。这一不成立的事实会产生一个被称为“波动率微笑”的著名现象，它表明隐含波动率是行权价的函数。本质上，隐含波动率是我们在一个错误的公式中填入的一个错误数字，来得到一个正确的期权价格。这一问题可通过多种方法来改进。在第5章中，我们提供了一些方法来度量隐含的偏度和峰度。
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我们还假设合约标的价格的变化是连续的，这样我们就可以不断地调整对冲头寸。但这一假设是不成立的。有时候合约标的价格会出现大幅跳空。例如，一家生物科技公司的股价在一天内跳空70%～80%并不算稀奇。为了应对这样的情况，有学者（Merton，1976）对BSM公式做了修正，但这并不是我们讨论的重点。这些价格跳跃是无法对冲的，复制策略也会彻底失败。我们必须学会使用其他期权来对冲这部分风险。这就是交易员在实践中需要用到的半静态对冲策略。
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） 结论
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BSM模型是非常稳健的。对于推导公式时所做的那些假设，大部分都可以适当放松而不至于影响模型的使用。但需要注意，我们只是把BSM模型作为定价模型，而不是作为风险控制方法来使用。将快速变化的期权价格转化成一个缓慢变化的参数（隐含波动率）是非常有用的，它可以与我们所估计的已实现波动率进行对比。它同样可以用来比较不同的期权。即使大部分假设都是不正确的，但它们对于50-delta看涨期权和40-delta看涨期权的价格的影响是相似的。这让我们所估计的期权价差的准确性会比估计单个期权时更高。如果稍微模糊一点，我们还可以进一步比较不同合约标的的期权。
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但是风险控制必须单独处理。交易员永远都不应该用正态分布的各阶矩来考虑极端风险。诸如“当IBM公司股价变动5个标准差时会怎么样”这样的问题，只有在正常情况下才会有用（这里的正常情况是指股价变动服从正态分布的情形）。我们同样应当清楚，当IBM公司股价跌去50%时会发生什么，尽管这样的情形从未发生过。默顿认为这些极端的价格跳空可以通过分散化来去除（Merton，1976）。遗憾的是，交易员也只能希望这个结论是正确的。尾部风险可以通过交易一些深度虚值期权来控制，并且控制单个资产在整个组合中的比例尽量小同样有帮助。但总体上，承受风险才能获得收益。我们需要区分出，我们在哪些风险上有优势，而哪些没有。另外，永远不要用定价模型来衡量风险的大小。
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） 本章小结
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模型并不是魔法。特别地，期权定价模型并不能真正对期权“定价”。它们只是将期权价格转化为一个更缓慢变化的参数——隐含波动率。这种简化让我们可以比较不同行权价、存续期和合约标的的期权。
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BSM模型是最古老、经受最多检验的模型之一。通过足够的特殊修正，它可以用来对绝大多数交易所上市期权进行定价。虽然并不是一定要选择这个模型，但由于其稳定性、简便和已成为期权市场中的公共语言等原因，我推荐使用这个模型。它最重要的特性有：
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·合约标的价格的漂移项可以被对冲掉；
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·合约标的价格变化的波动则无法被对冲掉；
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·需要时刻记得隐含在该模型之后的所有假设；
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·BSM模型是一个用来选择交易机会的模型，而不是一个用来控制风险的模型。
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） 第2章 波动率的度量
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我们已经知道，如果要在期权交易中寻找机会，就需要先对未来的已实现波动率进行估计，然后再和期权的隐含波动率对比进行相应的交易。在预测未来的波动率之前，我们需要先对过去的波动率水平进行度量。在本章中，我们会研究度量历史波动率的各种方法，包括收盘价–收盘价波动率、Parkinson波动率、Rogers-Satchell波动率、Garman-Klass波动率和Yang-Zhang波动率。我们将会讨论每种方法的效率（估计值能以多快的速度逼近真实值）和偏差（该方法的估计值是否会系统性地高于或低于真实值），以及如何受到真实市场不同特征的干扰。这些特征包括收益率的厚尾现象、趋势和微观结构噪声等，同时我们也会研究度量不同的频率。当我们理解何为历史波动率后，就能着手研究它的属性。我们将侧重论述均值回复、波动率聚集以及季节性效应。
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