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图2-1 样本标准差的分布
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通过观察图2-1可以发现,随着样本容量N的增大,分布的峰值在向右侧移动——趋向于总体标准差。因此样本容量越大,总体标准差与样本标准差之间的偏差就越小。偏差的程度可以通过下式进行精确量化:
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其中:
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s/b就是总体标准差的无偏估计。
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表2-1列出了不同的样本容量时所对应的b值。
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表2-1 校正因子与样本容量的关系
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使用s/b便纠正了这一偏差,也就是说这一估计量不会系统性地高估或者低估真实波动率。但是,该估计量向真实波动率收敛的速度较为缓慢,因此在技术上将其称为非有效估计量。该估计量的方差为:
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方差(样本方差的方差)与样本容量的关系如图2-2所示。
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图2-2 样本方差的方差会收敛至真实总体方差,它是样本容量N的函数
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如果直接心算gamma函数会非常难,因此如果能找到一个更为简单的近似公式,那么在实际中将大有裨益。首先我们注意到:
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将式(2-8)代入式(2-6),整理后只取到N的一阶项(近似),可得:
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因此,再结合式(2-6)和式(2-7)可以得到:
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