1703563676
GARCH模型只能得到以指数形式收敛至长期均值的期限结构，无法得到市场上常见的那种有峰的波动率期限结构。比如，2个月期限的波动率比1个月和3个月期限的波动率都要高。这就说明GARCH模型并不适用于期权市场。
1703563677
1703563678
1703563679
1703563680
1703563681
波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562362]
1703563682
波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） 极大似然估计
1703563683
1703563684
通常，当交易员或者风控经理在使用EWMA模型时，他们会凭直觉确定平滑参数λ。其实对于GARCH模型，我们也可以这样做，仅凭直觉确定参数。但是，那些相信波动过程服从GARCH模型的人通常不会这么做，相反，他们会用极大似然估计来估计GARCH过程的参数（这通常是反对使用GARCH模型的一个理由：GARCH依赖于过去的信息拟合模型的参数，因此会受到参数曲线拟合的限制。更确切地说，模型本身没有什么问题，但实施起来可能会遇到问题）。
1703563685
1703563686
极大似然估计（MLE）是用来对概率分布的参数进行估计的方法。似然和概率是两个不同的概念。概率是指某一未来事件可能发生的概率，而似然只是针对过去发生的事件。MLE是指在参数可能取值的范围内，选取一个参数，使得最终观察到的样本所出现的概率最大。
1703563687
1703563688
用一个常见的例子进行说明，即估计城市中的出租车数量。假设我们仅知道所有出租车都有唯一的编号，而且编号连续排序，中间没有间隔。如果我们碰到的第一辆出租车的编号是2028，那么MLE估计应该是什么呢？显然出租车的数量不可能小于2028。回忆一下刚才提到的MLE是寻求一个参数来最大化所能观察到的事件发生的可能性。在这个例子中，如果出租车的数量正好为2028，那么正好撞见这辆车的概率为1/2028。如果存在更多的车，那么我们碰到这辆车的概率会更小。所以MLE的估计就是2028。需要注意的是，这虽然是我们的最优估计，但是可能和真实值相差甚远（可能一共有10000辆出租车），但是MLE能够让我们充分使用已有的信息。
1703563689
1703563690
再举一个更有意义的例子，虽然可能还是有点不自然的感觉。假设我们将硬币抛10次。我们并不知道这枚硬币是否均匀。实际上假设有三种硬币，第一种硬币头朝上的概率为1/3，第二种头朝上的概率为1/2，第三种头朝上的概率为2/3。如果在试验中得到6次头朝上的结果，我们最有可能使用的是哪种硬币呢？
1703563691
1703563692
用p表示抛出头朝上的概率（暂时未知），因此得到头朝下的概率便为1-p。抛硬币的结果可以用二项分布来描述。所以投掷N次后得到h次头朝上结果的概率为：
1703563693
1703563694
1703563695
1703563696
1703563697
所以有：
1703563698
1703563699
1703563700
1703563701
1703563702
1703563703
1703563704
1703563705
1703563706
1703563707
1703563708
所以在这个例子里，我们最有可能使用的是头朝上概率为2/3的硬币。
1703563709
1703563710
这是在离散分布的条件下使用MLE的例子。连续分布下的推理过程与此类似。
1703563711
1703563712
GARCH（1，1）模型的似然函数如下：
1703563713
1703563714
1703563715
1703563716
1703563717
通常我们使用相应的对数似然形式：
1703563718
1703563719
1703563720
1703563721
1703563722
在使用一些股票价格序列来拟合GARCH（1，1）模型后，读者可能会发现一个问题：由于对数似然函数很平坦，求解算法在拟合时可能会碰到困难，即当参数的变化范围比较大时，似然值可能仅仅发生很小的变化。这个问题可以通过被称为方差定位（variance targeting）的方法来解决，其实就是把omega项设定成样本的无条件方差与1-α-β的乘积，然后在拟合时仅仅改变α和β项。
1703563723
1703563724
然而，如果想在更大范围内使用GARCH模型，那么就有必要使用更复杂的数量方法。这样也可以得到关于模型拟合优度的统计量。有很多原因都会使模型对数据拟合的效果不太好，这些原因包括：
1703563725