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·错误的模型。数据和所选择的模型不匹配！特别地，收益率分布中的厚尾可能并不是来自GARCH效应，因此在我们的GARCH模型中使用正态分布就完全没法体现这个问题。
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计量经济学家构建了大量的模型来解决上面列出的最后一个问题。我在这里仅列举一些常见的模型，虽然这只是一小部分。事实上，从最初Engle（1982）的工作开始至今，大量不同版本的模型被开发出来[1]。有篇文章就曾经对330多个模型进行了比较测试（Hansen和Lunde，2005）。
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·EGARCH：指数GARCH。该模型是对对数方差进行建模。这意味着它能处理非对称的情况，因为负面冲击和正面冲击对股价的影响并不一样（Nelson，1991）。
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·GJR-GARCH：这是另一个非对称模型。该模型通过一个附加项来体现有向下冲击的情况（Glosten、Jagannathan和Runkle，1993）。
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·IGARCH：整合的GARCH模型。该模型给参数增加了更多的约束条件，使得α和β加起来为1。
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·TGARCH：门限GARCH模型。该模型用一个附加项来体现负的冲击，它同样允许非对称的情况。
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·AGARCH：绝对值GARCH模型。该模型直接对波动率建模，而不是对方差建模（Taylor，1986；Schwert，1989）。
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·CGARCH：成分GARCH模型。该模型将方差视为多个波动过程或成分之和来建模。其中一个过程用来捕捉冲击的短期影响，另一个用来捕捉长期影响。这样模型就可以拥有长记忆性（Engle和Lee，1999；Ding和Granger，1996）。
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GARCH模型确实能够捕获一些方差随时间演变的因素，而且也能够被一些简单的基于市场微观结构的论据所支持（Sato和Takayasu，2002）。但是GARCH模型族包含的模型太多，没有一个模型能显著优于其他模型，这是GARCH模型的一个负面因素，并且如果用MLE来估计模型的参数，隔一段时间后再次估计，我们得到的参数估计值并不稳定。这可能意味着模型对现实市场的描述并不是特别准确。需要注意的是，模型的初衷是预测，而不仅仅是用来描述市场。与BSM仅仅是一个概念框架不同，波动率的预测确实需要和未来情形保持一致。
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除了GARCH模型族外，还有许多其他预测时间序列的方法，其中常见的有神经网络、遗传算法以及诸如ARMA模型族等经典的计量经济学方法。这里我们不再对这些方法展开进一步的介绍，原因如下：没有足够的证据表明这些方法具有精确的预测性；遗传算法和神经网络是非常专业的方法，容易被误用；虽然时间序列分析可能是一个需要了解的好东西（参考Taylor，1986），但是否值得花费大量时间去推敲如何改进点估计值得商榷。
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虽然我们赞同诺贝尔奖委员会的评价：GARCH模型族是金融领域风险评估中不可或缺的工具[2]，但是GARCH模型族其实并非期权交易员所必需的突破性工具。波动率的点估计也并不是那么有用。我们真正需要的是对波动率分布进行预测。如果我们预测一个月的波动率为12%，那么以15%的水平卖出隐含波动率就是个好主意。而如果我们了解到一个月波动率的范围为11%～35%，那么这个主意就不算那么好了。预测波动率本身并不是那么必要，更重要的是得出波动率的变化区间（波动率的分布）。那么，实现这一目的的简单方法就是使用波动率锥。
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就像在一篇关于这个主题的早期权威论文（Burghart和Lane，1990）中所述，“波动率锥的用处是阐明在不同的交易区间内，波动率区间是如何变化的”。让我们再以微软股票为例，看一下截至2007年4月30日的4年里波动率的情况。我们以20个交易日、40个交易日、60个交易日、120个交易日和240个交易日（不重叠）为周期窗口分别计算波动率（此处我们使用收盘价–收盘价估计量，当然也可以选择其他的波动率估计量）。在日历上，这些窗口分别对应1个月、2个月、3个月、6个月和1年。结果如图4-3所示。
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图4-3 微软股票的波动率锥（根据截至2007年4月30日的4年收盘价数据计算得到）
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观察图4-3就能知道为什么我们称这个方法为波动率锥。从图中可以看出，短期波动率的变化幅度比长期波动率更大。一方面，大的波动显然会在更长的时间段里被平滑掉；另一方面，抽样误差很容易影响到波动率的度量，特别会对短期的度量产生较为显著的影响（参见表2-3，从中可以看到抽样误差与样本容量是高度相关的）。此外，为了从给定的价格序列中获得更多的信息，一般需要重复地使用数据（重叠数据）。这显然会在波动率估计中引入人为制造的相关性，从而或多或少地给我们的结果带来偏差。我们需要综合考虑所有这些问题。具体来说，我们需要知道当使用重叠数据后，会给波动率估计造成多少偏差。Hodges和Tompkins（2002）对此问题做了大量的研究。他们发现，为了减少人为造成的估计偏差，由重叠的收益率序列所估计出的波动率需要乘以相应的调整系数：
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其中，h是每个子序列的长度（比如，20天）；n=T-h+1，是在T个观察点上可获得的不重复的子序列个数。
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在表4-1给出的例子中，我们需要在1006个数据点、60天的子区间上对估计出的方差进行调整，调整系数设为1.06（如果直接调整波动率的话，调整系数大约为1.03）。使用这个调整因子意味着我们可以采用滚动窗口来估计波动率，这使得波动率锥成为一个非常有用的交易工具。
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表4-1 微软股票的波动率锥中的数字
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事实上，对股票和许多期货产品而言，在估计和预测已实现波动率时，消息的影响要远比其他任何因素的影响都来得大。通常而言，我们最好比较隐含波动率和由波动率锥给出的历史波动率的分布。如果发现此时一个月的隐含波动率水平已经达到了过去两年中一个月波动率的90%分位数，那么在35%的水平卖出一个月隐含波动率，就可以构建出一个比较明智的交易计划。如果仅当GARCH模型预测出的已实现波动率是20%，从而就以35%卖出隐含波动率，那么这个策略就显得有些欠考虑了。点预测远没有波动率可能的分布预测来得重要。
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显然，我们也可以根据其他波动率的估计量来构造波动率锥。
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波动率锥可以将当前的市场信息（已实现波动率、隐含波动率以及它们之间的价差）置于历史的背景中进行观察，但它却无法让我们把市场信息放置于目前整体的市场背景下进行观察，这也是需要时刻留意的一个方面。如果我们有两个操作选择，即在已实现波动率为26%时，卖出隐含波动率为39%的花旗集团，或者在已实现波动率为18%时，卖出隐含波动率为24%的标准普尔500指数，对于这两个选择，我们应该认真考虑一下哪个更划算。从比例来看，相比卖出指数波动率，卖出股票波动率并没有赚得更多。但如果考虑使用指数的隐含波动率/已实现波动率价差来作为衡量交易优劣的基准指标，情况就不同了。类似的背景信息总是很重要的。
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