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Bakshi和Madan（2006）开发了一个模型来帮助我们预测价差会在何时变得特别高或特别低。在他们的理论中，风险中性波动率和实体波动率（physical volatility）之间的差异与更高阶的收益率矩有关。当交易员是风险厌恶型时，他们预测波动率价差为正，此时实体分布是负偏和厚尾的。
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在这样的情况下，他们假设了一个幂效用函数：
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这可以推导出下列的波动率价差（实际上是用方差来定义的）和实体分布（physical distribution）矩之间的近似关系：
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利用这个公式，交易员可以在给定的风险厌恶水平下，确定特定的价差是高于还是低于某个相对基准。
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让我们来看一个例子。在2012年8月3日，我预测了SPY和EEM的实体矩，如表4-2所示。
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表4-2 SPY和EEM的收益率矩估计值（2012年8月3日）
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在这一天，SPY和EEM的9月平值期权的隐含波动率分别为0.156和0.225。根据式（4-18），SPY的波动率价差所隐含的风险厌恶系数为6.4。如果我们把它视为市场的风险厌恶系数估计值，并假设其在所有指数中都保持不变，那么EEM的隐含波动率就应该为0.221。在这样的情况下可以看到，错误定价的相对度是非常类似的。
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我们在第5章中看到，偏度和峰度的估计值是有噪声的。我们的估计值可能并不足以区分这些细微区别，比如用这个模型来确定哪个指数的波动率更大。不过，我们可以用这个理论来理解期权市场隐含着那些没有在历史价格序列中体现出的未来的大幅波动。
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当期权卖家变得更风险厌恶时，价差会变得更大，这很容易理解，因为他们会要求更多的溢价来补偿他们的恐惧。同理，价差在高阶矩上会变得更宽，这是因为所有期权都是暴露于该实体分布的全部矩中。
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不过，这个模型并不符合这一事实：价差（以百分数的形式表示）会在波动率指数（VIX）上涨时变窄，至少对于标准普尔500是如此。表4-3显示了1990年1月至2012年5月不同VIX水平下的百分比波动率价差。
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表4-3 波动率溢价与VIX水平的关系
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直观上，高VIX水平可被视为对风险厌恶程度的度量，但这明显不是该模型所考虑的。显然，真实市场是复杂的，任何时间都会有许多效应在起作用，并且它们可能会相互冲突。当波动率水平很高时，交易员预期均值回复会成为主导效应，从而驱动价差变小，而这一效应并没有包含在Bakshi和Madan（2006）的模型中。
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也可以这样看，波动率水平与该分布的更高阶矩相关，而这个因素超过了风险厌恶因素。我认为该模型比较有趣，但可能并不完整，毕竟历史数据（表4-3）是无可争议的。
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从存在波动率溢价的讨论中会得出一个不正确的结论，即我们总是可以靠卖出隐含波动率来获利。在第11章讨论卖出隐含波动率来获利的一些情形时，我们会再次讨论这个问题。
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请记住，保险公司的利润主要来自保险费再投资收益。对于借入资金进行期权交易的交易员而言，这样的机会并不存在。期权的保险溢价并不是卖出期权的好理由。但我们必须承认价差的存在，并在预测结果中做相应的调整，这样就可以判断出一份期权是不是真的很贵。因此我们需要通过减去这个“正常的”隐含/预测价差来调整每个预测值。例如，标准普尔500指数的已实现/隐含价差可以简单地用30天收盘价–收盘价滚动波动率和芝加哥期权交易所波动率指数（VIX）的价差来代替，如图4-4所示。我们注意到，VIX指数几乎总是比30天的滚动波动率高。你需要知道这个溢价的平均大小。记住，你要留意不寻常的情况。图4-5给出了实际价差的变化。此处的平均值为3.09。这一数字较为重要，要牢记（还要注意，在2007年4月的价差为负值，对应了30天收盘价–收盘价波动率飙升的时期。这主要是由于计算历史波动率须向前追溯所导致的，我们之前讨论过这个问题，如图4-1所示）。
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图4-4 VIX和标准普尔500的30天波动率（注意，VIX几乎总是在30天波动率之上）
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对于头寸交易员而言，基于市场背景调整后的波动率锥是非常有用的，因为这可以帮助他们监测波动率的变化，而不用时时做市。他们可以等到波动率达到高位时才建仓（此时做市商往往急于减轻头寸）。头寸交易员必须利用这样一个事实：他们可以选择性地进行交易。交易活动虽然看上去竞争激烈，但也不用时刻严阵以待，没必要总是保持仓位。狮子是聪明和强大的猎手，它们不会浪费体能去和犀牛战斗，而是静心等待羊群中掉队的受伤羚羊。
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