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关于最后一点需要做更多的说明(如下所示),因为这是经常被提及但很少给出明确定义的一点。
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均值回复
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交易员和分析师常说波动率是一个均值回复过程(这也是与EWMA模型相比,我们更倾向于使用GARCH模型来预测已实现波动率的原因),但此处并没有一个精确的定义。所以先来看几个对均值回复的不同定义,以便在后面讨论隐含波动率的动态变化时,我们能有一个较为明确的概念(顺便提一下,在讨论金融市场的趋势时,也存在同样的歧义。通常在复盘的时候,交易员能很明显地看到某个趋势已经发生,但在事前却很难预测出趋势将会是什么样的)。
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非正式的定义
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当一个时间序列在达到最高点后下降,在达到最低点后上升时,那么它就是均值回复的。
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这个定义从直观上看较有吸引力。我们所需要做的就是观察序列,找出极端值,然后观察随后的序列是否在极值附近回复。根据这一思路,股市在20世纪80年代初显然是被低估了,在1987年中期则是被大幅高估了。遗憾的是,这个定义也是自我实现的。一个序列在其达到最大值之后都会变小,这永远是一个真理,适用于任何序列。我们需要拿出更多的东西来证伪。
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相对正式的定义
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如果一个时间序列回归后的随机误差项间存在负自相关性,那么它就是均值回复的。
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在这个定义下,某期低于平均值的收益率,会在后续期中高于平均值的收益率来作为补偿。基于这个定义,VIX就是均值回归的。VIX的日频自相关系数为-0.04,周频自相关系数为-0.21,月频自相关系数为-0.12。
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该模型可以简单地表示为:
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式中 R——t时刻的收益;
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ρ——自相关系数;
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μ——收益率均值;
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σ——收益率的波动率;
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Z——服从标准正态分布。
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这个过程的一个实例可以参考图5-6。
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现在将图5-6与图5-7相对比。
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虽然这并不能证明什么,但它显然表明均值回复模型可以套用在VIX上,至少在短期中是如此。
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图5-6 式(5-1)所描述的均值回复随机过程(μ=0,ρ=-0.2,σ=2.8)
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图5-7 VIX的周收益率(1990年)
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