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表5-3 QQQQ期权原始和调整后的隐含波动率与虚值delta之间的关系
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注：某delta 的调整波动率，即用该月份的原始波动率除以平值波动率，如10月delta=10时的调整波动率=35.8/24.4=1.47。——译者注
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与我们之前给期权定价的方法类似，我们后续将着手解决这一问题。一开始我们认为，期权仅与合约标的价格变动的平方有关，这个观点引导我们使用波动率来给期权定价，但我们并没有采用股票价格的绝对变动幅度来研究这个问题。之所以使用波动率，是因为它可以让我们对两个价格不同的合约标的进行比较。现在我们意识到，仅仅有波动率是不够的，我们的研究过程还不够具体，需要扩展BSM模型，从而将偏度和峰度的影响也纳入模型中。
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偏度是样本期望的三阶中心矩，它通过标准差来进行标准化。
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式（5-10）和式（2-1a）的形式很像。如果分布是对称的，那偏度就会是0（所以，正态分布的偏度为零）。如果分布的左尾比右尾更厚，那么这个分布的偏度就为负值。反之，偏度就为正值。当样本的规模为N时，得到的偏度估计量的方差为：
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将峰度定义为标准化后的样本四阶中心矩：
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这是一个描述分布尾部肥硕程度的指标。标准正态分布的峰度为3。峰度值大于3的分布为尖峰分布（leptokurtic），金融领域涉及的分布几乎都是尖峰分布。峰度值小于3的分布为低峰分布（platykurtic）。基于这个定义，正态分布的峰度恰好为3，我们有时候也使用超额峰度的概念，即峰度值减去3。容易引起混淆的是，有些作者直接把这个概念误认为是峰度的定义。微软Excel中计算峰度的公式KURT，实际上计算的就是超额峰度。
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当样本的规模为N时，得到的峰度估计量的方差为：
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最先尝试将这些矩估计用于期权定价的是Jarrow和Rudd（1982），他们从价格分布入手，不厌其烦地使用对数正态分布来估计价格分布。他们以对数正态分布为基础，将新的价格分布以展开式的形式表示。但是很遗憾，价格分布的高阶矩在不同的到期日上并不恒定，因此我们需要对随时间变化的参数进行不断跟踪。这是数学上的近似过程，即便真实分布并没有发生变化，我们还是需要对参数进行重新拟合。
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一个更好的解决方法是由Corrado和Su（1996）提出的，他们对收益率分布进行了展开（从技术上说，这就是Gram-Charlier展开），这意味着参数不是随时间变化的（除非分布的形状确实变了）。欧式看涨期权的价格为：
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式中 μ3——收益率的偏度；
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μ4——峰度；
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CBSM——标准的BSM看涨期权价格。
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