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表5-3 QQQQ期权原始和调整后的隐含波动率与虚值delta之间的关系
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注:某delta 的调整波动率,即用该月份的原始波动率除以平值波动率,如10月delta=10时的调整波动率=35.8/24.4=1.47。——译者注
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与我们之前给期权定价的方法类似,我们后续将着手解决这一问题。一开始我们认为,期权仅与合约标的价格变动的平方有关,这个观点引导我们使用波动率来给期权定价,但我们并没有采用股票价格的绝对变动幅度来研究这个问题。之所以使用波动率,是因为它可以让我们对两个价格不同的合约标的进行比较。现在我们意识到,仅仅有波动率是不够的,我们的研究过程还不够具体,需要扩展BSM模型,从而将偏度和峰度的影响也纳入模型中。
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偏度是样本期望的三阶中心矩,它通过标准差来进行标准化。
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式(5-10)和式(2-1a)的形式很像。如果分布是对称的,那偏度就会是0(所以,正态分布的偏度为零)。如果分布的左尾比右尾更厚,那么这个分布的偏度就为负值。反之,偏度就为正值。当样本的规模为N时,得到的偏度估计量的方差为:
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将峰度定义为标准化后的样本四阶中心矩:
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这是一个描述分布尾部肥硕程度的指标。标准正态分布的峰度为3。峰度值大于3的分布为尖峰分布(leptokurtic),金融领域涉及的分布几乎都是尖峰分布。峰度值小于3的分布为低峰分布(platykurtic)。基于这个定义,正态分布的峰度恰好为3,我们有时候也使用超额峰度的概念,即峰度值减去3。容易引起混淆的是,有些作者直接把这个概念误认为是峰度的定义。微软Excel中计算峰度的公式KURT,实际上计算的就是超额峰度。
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当样本的规模为N时,得到的峰度估计量的方差为:
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最先尝试将这些矩估计用于期权定价的是Jarrow和Rudd(1982),他们从价格分布入手,不厌其烦地使用对数正态分布来估计价格分布。他们以对数正态分布为基础,将新的价格分布以展开式的形式表示。但是很遗憾,价格分布的高阶矩在不同的到期日上并不恒定,因此我们需要对随时间变化的参数进行不断跟踪。这是数学上的近似过程,即便真实分布并没有发生变化,我们还是需要对参数进行重新拟合。
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一个更好的解决方法是由Corrado和Su(1996)提出的,他们对收益率分布进行了展开(从技术上说,这就是Gram-Charlier展开),这意味着参数不是随时间变化的(除非分布的形状确实变了)。欧式看涨期权的价格为:
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式中 μ3——收益率的偏度;
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μ4——峰度;
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CBSM——标准的BSM看涨期权价格。
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