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这就是Leland的中心结论。他证明了调整后的期权多头头寸的波动率为：
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式中 λ——按比例计算的交易成本；
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Δt——每次调整平衡之间的时间间隔。
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对于期权空头头寸，调整后的波动率为：
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尽管交易员并不会明确地使用Lenland的结果来确定对冲策略，但它们是非常重要的结论。在进行期权交易之前，我们需要大致了解多少利润会消耗在累积的delta对冲上面。这部分影响可能会非常可观，尤其是对低波动率、低流动性的股票而言。例如，假设一份期权的公允波动率为10%，买卖价差为1%，如果每天进行再平衡对冲，就需要至少以15.9%的隐含波动率卖出期权，才能够弥补这些对冲成本。
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另外，最优delta区间并未完全覆盖BSM中的delta。在交易成本存在的情况下，由BSM得到的完美对冲头寸量是需要进行调整的。这和Leland的观察也是一致的，即当虚值期权遇到更高波动率的时候，由于期权的delta受波动率水平的影响，真实的delta水平会更高一些。同样地，实值期权的真实delta则会更低一些。这就导致了对冲区间是以S形调整后的delta为中心的，而不是以BSM的delta为中心的。
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前面的分析都是针对欧式期权的，但是大致的思想也可以拓展至美式期权。这与BSM模型类似，偏微分方程是一般性的，但求解的具体方法还要取决于具体的边界条件。这个要点也同样适用于我们研究的其他模型。通常情况下，我们可以预期美式期权的结果和欧式期权是相似的（在大多数例子里，美式期权都可以用欧式期权的思路去思考）。
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虽然无法从图6-3和图6-4中观察到，但是这个模型的重要特征是：对冲区间的宽度取决于风险厌恶系数。高风险厌恶系数意味着交易员只能承受少量的风险。所以他想要收紧对冲区间，从而会频繁地进行对冲。相反，风险厌恶系数小的交易员的对冲频率会更慢一些，他通过承担更多的风险来减少对冲成本。这些不同的选择并不存在好坏之分，也不能说明某个选择要比其他的更正确。对于所有的这些对冲方法，我们都要知道自己的风险厌恶系数是多少。一旦给定了这个系数，HN公式就能够告诉我们风险与收益的最优平衡是多少。
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Whalley和Wilmott的渐近解
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假设交易成本很小（相对于BSM中的期权价格而言），那么就有可能得到整个问题的一个近似解。这一结论是由Whalley和Wlimott首先得到的（1993，1994）。他们证明了非交易区间（no-transaction region）的边界满足如下的表达式：
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其中λ是按比例计算的交易成本，交易成本满足以下表达式：
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其中N是交易的股票总数。
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虽然Whalley和Wilmott只考察了对冲欧式看涨期权空头头寸的例子，但其实这个方法具有较好的通用性：该方法有许多让人满意的合理之处，可以用于大部分普通投资组合的对冲。图6-5展示了一个使用该方法进行对冲的对冲区间。它使用的例子是波动率为0.3的一年期期权，交易成本为2%，利率和持仓成本为0，风险厌恶系数为1。
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图6-5 Whalley和Wilmott的渐近方法所得到的近似对冲区间与BSM的delta之间的关系
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·当交易成本降低的时候，对冲区间的宽度也会减小。事实上，当成本变为0时，对冲区间就变成了BSM的delta线。
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·当风险厌恶系数上升时，对冲区间的宽度会减小，这和完整的HN理论的结论一致。
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·这个策略可以简化为一个分析式，从而可以在Excel中实施。
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