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类似于BSM模型，这些对冲模式不应该被认为是能够反映真实环境的。它们只是提供了一个一致并且系统地处理真实环境的框架。上面所提到的在实际应用中遇到的问题只是更加明确了这一事实。
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[1] 参见Johnny 对此的有用解释，www.nuclearphynance.com。
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562375]
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） Zakamouline的双渐近解
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两个相对简单的交易成本模型分别是由Leland和Whalley及Wilm-oott提出的。它们都可以被视为Hodges和Neuberger模型的特例：Leland阐述了当处于风险中性状态时，如何在有交易成本的情况下复制一个期权。Whalley和Wilmott考虑了风险厌恶的情况，但是认为交易成本比较小。
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这些模型使用起来均较为简单，而且相对于那些非系统的对冲方法有了大幅提高，但是它们忽略了一些完整HN模型中很有价值的因素。更为关键的是，一些较为严谨的数值仿真结果表明，这些近似方法与完整方法相比，性能上会差很多。换句话说，在一个既定的交易成本水平上，使用WW模型对冲的投资组合会比使用HN模型对冲的组合面临更多的波动（这其实不能算作批评的意见。很明显，近似的模型效果不会有完整模型那么好）。
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Zakamouline（2006a，2006b和2006c）研究了基于效用的对冲策略的特性（尤其是上面列出的几个要点），并提出了一个对冲策略公式，它能够保持HN模型最重要的特性。这项研究也曾经由Risher（2004）独立地提出过。这个对冲区间具有以下形式：
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从中我们可以发现，这个对冲区间不是以BSM delta为中心的，而是以根据修正后的波动率σm计算出的BSM delta为中心的：
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H1是与gamma相关的项，与其在WW模型里面的作用类似。HN模型的精确数值解告诉我们，即使对于深度虚值期权而言（这时gamma可视为0），对冲区间的宽度也不会变为0。该特点并没有被WW模型捕捉到。这意味着我们还要另外引入一个H0项。Zakamouline设定了一个公式形式，然后通过数值分析的方法拟合得到了参数。最终结果如下：
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图6-6和图6-7列出了使用这个结论得到的对冲区间的例子。例中使用的也是波动率为0.3的一年期期权，交易成本为2%，利率和持仓成本为0，风险厌恶系数为1。
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图6-6 由Zakamouline的渐近方法得到的看涨期权多头对冲区间与BSM delta的函数关系
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图6-7 由Zakamouline的渐近方法得到的看涨期权空头对冲区间与BSM delta的函数关系
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如图6-6和图6-7所示，比起WW的方法，Zakamouline的方法更接近HN模型的结果。尤其是非交易区间中间的那部分与BSM没有重叠，这正是由于使用了修正过的对冲波动率。
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在比较这些不同的对冲策略前，我们首先需要一些通用的评价基准。这些策略不尽相同。有些是基于时间增量的，有些则是基于价格变动的。比如，以固定时间区间进行平衡调整的策略为例。首先我们选择一个时间间隔；然后进行模拟，并且计算该策略的风险和收益；接下来我们改变这个时间间隔，并重复之前的步骤；最终我们会得到这个策略的一个有效前沿。这能够帮助我们在给定的风险水平下，找到最优的策略（以收益的形式来衡量优劣）。一方面，我们选择复制误差，也即所有交易成本影响的总和，来作为衡量收益的指标；另一方面，我们选择使用复制误差的方差来衡量风险项。也就是说，我们使用了常用的均值–方差框架来评估风险，当然其他风险指标也是可行的（在第9章中将可以找到有关这些指标优缺点的讨论）。