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期权加总的过程从原理上来说是相当简单的。考虑这样一个例子,我们持有价格SA=100的股票A,SI=1000的指数I。另外假设有一个交易所交易基金(ETF)与这个指数相匹配,因此所有的交易单位都是可比较的。股票A与指数的beta为β=1.5。这意味着如果指数上涨1个百分点,股票A会上涨1.5个点。如果我们持有股票A1000delta的多头头寸(无论是通过指数还是通过期权delta),同时指数上涨1个百分点,我们的损益(P/L)是:
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对于每单位的指数ETF空头头寸来说,我们的损失是:
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因此为了将头寸对冲掉,我们需要持有150份ETF空头头寸。相应的,ETF头寸的delta为:
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为了将gamma加入到ETF式中,先用泰勒展开将期权价格的变化表示出来,如(式6-24)所示:
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但由于:
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所以得到:
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因此gamma项满足如下关系:
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vega可以用和delta相同的方法进行加总,但为了做到这点,我们首先要知道波动率的beta(volatility beta)。这可以通过实证的方法得到,可以将股票隐含波动率的变化与指数隐含波动率的变化进行回归,但可能得到的是带有很多噪声的、毫无意义的结论。一个替代的方法是:假设隐含波动率的变化和已实现波动率的变化是完全相关的(虽然这个假设并不算好,但作为初始研究也不是最差的选择),然后我们可以推出波动率的beta和beta是相等的。要证明这个结论,我们要从式(2-1b)对方差的定义开始:
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(当然,如果我们把β定义为股票对数收益率与指数对数收益率回归方程的斜率,那上面的关系式就不是一个约等式而是一个等式了。)
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这个等式意味着我们能够对期权头寸进行标准化,但我们是否应该标准化期权头寸则是一个依赖于主观判断的问题。我们需要将减少对冲成本带来的好处,与错误估计和不稳定的beta因子带来的误差进行权衡。通常来说,估计和预测beta比预测波动率更难(因为要准确估计两个波动率和一个相关系数才能得到beta)。当进行期权投机的时候,我们会认为与市场相比,自己在波动率预测方面更有优势。此时,为了降低对冲成本而在我们的赌注中混入另一个更复杂的因素,这可能不是一个明智的决定,但是这样的权衡还要视具体情况而定。对于短期国库券、中期国债和长期国债而言,把它们的希腊值(Greeks)加总起来就是一个聪明的决定,但是否要把微软(MSFT)和谷歌(GOOG)的风险加总到一个纳斯达克的账户中去,就需要深思了。在这方面想认真研究下去的交易员可能会考虑使用一些商用的因子模型,如BARRA或者APT,来量化其中的风险。
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一个更为保守的方法可能是对每个合约标的设定一个对冲区间,然后通过一个或一些指数来同时监控整体头寸的风险。当整个市场朝着对我们不利的方向变动,但此时并没有一个个体头寸达到对冲临界点的时候,这个方法便可以保护我们的头寸。
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