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1703565244 图8-5 以凯利比率的不同乘数进行交易时损益路径的相对波动率
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1703565246 现在,我们假设凯利策略已经足够诱人,我们可以用它来验证更真实的环境。这个环境更接近于我们在交易金融工具时可能遇到的情形。
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1703565248 为了应对赌局结果为连续值的情况,我们需要把交易的情景一般化。假设在交易中,一次赌局或者一次交易的结果服从某个特定的分布。这可能是一个交易员通常面对的情况:分布可以用历史数据来估计,也可以通过理论推导得到。现在,我们先假设这些交易的结果都是独立分布的。同样地,在每一期,我们的下注额为总财富的固定比例f,从而:
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1703565253 其中随机变量Xn为第n个交易的结果,其损益为g(Xn)。
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1703565255 在连续n次交易后,账户金额变为:
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1703565260 我们同样在公式两边取对数后可以得到:
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1703565265 因此有:
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1703565273 其中,Φ(x)为描述交易结果的分布函数。
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1703565275 如果通过选取合适的账户比例来最大化期望对数财富,那么可以得出最优解所满足的公式为:
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1703565280 这个公式是通用的,它适用于所有的分布。有说法认为凯利规则只适用于只有两种结果的交易,这其实是错误的。在二项结果的情况下,凯利规则可以做一定的简化,但是凯利规则近似解的适用性比较差。通常这个公式太复杂而难以直接使用。如果假设每笔交易的盈利都很小,那么就可以对公式进行简化(但遗憾的是,这种情形过于简单,从而难以代表现实的情况)。在这个假设前提下,f值将会很小,因此我们将式(8-12)按幂级数展开,截取前几项后得到:
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1703565285 其中的第一项为每单位赌注的期望收益,第二项为收益g(x)的方差。所以在每笔交易盈利很小的限制下,我们可以得到:
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