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1703565203 或者说,每一次交易时,我们能够得到:
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1703565208 其中,p=n/(n+m),为获胜的概率;q=m/(n+m),为失败的概率。
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1703565210 通过选择不同的f来最大化G的方法可能是错误的。在任何有限次数的赌博中,只要每次押上整个账户,我们的期望收益是最大的。遗憾的是,这样一来,我们100%会破产,因为最终还是会输。只要输了一次就会破产。这个策略并没有考虑风险。事实上,我们需要最大化的是风险调整后的收益,或者说是效用,这其中又一次涉及选择效用函数(我们可以在许多效用函数中选择一个,但从长期来看,对数效用函数的效果更好)。此时,我们最大化的将不再是期望财富(expected wealth),而是典型财富(typical wealth),它们之间概念上的区别很重要。平均值会被一些不可能发生的情况所干扰,例如交易员每一次都盈利。这对已经破产的交易员而言没有任何意义。而通过最大化对数期望财富,我们可以降低破产的概率。
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1703565212 因此,我们对收益函数取对数,然后对x求偏导并使之等于0,由此可以得到最优的f值:
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1703565217 (所以在一开始的简单例子中,凯利比率应该是0.1。)
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1703565219 在N次赌局后,期望账户金额为:
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1703565224 图8-4展示了10次赌局后的期望账户金额与赌注大小的函数关系。在这个赌局中,获胜的概率为45%,获胜时的盈利为失败时损失的2倍。在这个例子里,凯利比率为0.175,对应的是曲线的峰值。如果下注比例达到凯利比率的2倍以上,那么账户增长率会变成负值,赌的次数越多,账户损失也就越大。
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1703565229 图8-4 下注10次时的期望账户金额与下注规模的关系
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1703565231 进行一些简单的模拟,就可以充分了解如下几个特点:
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1703565233 ·与其他下注比例相比,凯利比率通常能够得到较多的最终财富。
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1703565235 ·以凯利比率下注时,资金的波动会变得异常大。
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1703565237 ·实际下注比例高于凯利比率时的结果,会比低于凯利比率时的结果更差。
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1703565239 最后有一点需要特别强调。实际下注比例比凯利比率高得越多,波动率会变得越高,而收益会变得越低。这点可以从图8-5中看到。该图展示了分别使用50%凯利比率、凯利比率以及200%凯利比率进行下注时,资金曲线的可能情况。
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1703565244 图8-5 以凯利比率的不同乘数进行交易时损益路径的相对波动率
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1703565246 现在,我们假设凯利策略已经足够诱人,我们可以用它来验证更真实的环境。这个环境更接近于我们在交易金融工具时可能遇到的情形。
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1703565248 为了应对赌局结果为连续值的情况,我们需要把交易的情景一般化。假设在交易中,一次赌局或者一次交易的结果服从某个特定的分布。这可能是一个交易员通常面对的情况:分布可以用历史数据来估计,也可以通过理论推导得到。现在,我们先假设这些交易的结果都是独立分布的。同样地,在每一期,我们的下注额为总财富的固定比例f,从而:
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