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或者说，每一次交易时，我们能够得到：
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其中，p=n/（n+m），为获胜的概率；q=m/（n+m），为失败的概率。
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通过选择不同的f来最大化G的方法可能是错误的。在任何有限次数的赌博中，只要每次押上整个账户，我们的期望收益是最大的。遗憾的是，这样一来，我们100%会破产，因为最终还是会输。只要输了一次就会破产。这个策略并没有考虑风险。事实上，我们需要最大化的是风险调整后的收益，或者说是效用，这其中又一次涉及选择效用函数（我们可以在许多效用函数中选择一个，但从长期来看，对数效用函数的效果更好）。此时，我们最大化的将不再是期望财富（expected wealth），而是典型财富（typical wealth），它们之间概念上的区别很重要。平均值会被一些不可能发生的情况所干扰，例如交易员每一次都盈利。这对已经破产的交易员而言没有任何意义。而通过最大化对数期望财富，我们可以降低破产的概率。
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因此，我们对收益函数取对数，然后对x求偏导并使之等于0，由此可以得到最优的f值：
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（所以在一开始的简单例子中，凯利比率应该是0.1。）
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在N次赌局后，期望账户金额为：
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图8-4展示了10次赌局后的期望账户金额与赌注大小的函数关系。在这个赌局中，获胜的概率为45%，获胜时的盈利为失败时损失的2倍。在这个例子里，凯利比率为0.175，对应的是曲线的峰值。如果下注比例达到凯利比率的2倍以上，那么账户增长率会变成负值，赌的次数越多，账户损失也就越大。
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图8-4 下注10次时的期望账户金额与下注规模的关系
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进行一些简单的模拟，就可以充分了解如下几个特点：
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·与其他下注比例相比，凯利比率通常能够得到较多的最终财富。
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·以凯利比率下注时，资金的波动会变得异常大。
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·实际下注比例高于凯利比率时的结果，会比低于凯利比率时的结果更差。
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最后有一点需要特别强调。实际下注比例比凯利比率高得越多，波动率会变得越高，而收益会变得越低。这点可以从图8-5中看到。该图展示了分别使用50%凯利比率、凯利比率以及200%凯利比率进行下注时，资金曲线的可能情况。
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图8-5 以凯利比率的不同乘数进行交易时损益路径的相对波动率
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现在，我们假设凯利策略已经足够诱人，我们可以用它来验证更真实的环境。这个环境更接近于我们在交易金融工具时可能遇到的情形。
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为了应对赌局结果为连续值的情况，我们需要把交易的情景一般化。假设在交易中，一次赌局或者一次交易的结果服从某个特定的分布。这可能是一个交易员通常面对的情况：分布可以用历史数据来估计，也可以通过理论推导得到。现在，我们先假设这些交易的结果都是独立分布的。同样地，在每一期，我们的下注额为总财富的固定比例f，从而：
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