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有趣的是，盈利优势和方差并没有在这个式子中出现。好的交易能够加速这个过程。如果A=0.5，B=2，那么P（A B）=2/3。这意味着以凯利比率执行交易时，有1/3的可能性会使得你的资金在翻倍前减半。从前文的模拟中我们知道，以凯利头寸执行交易时，交易结果的波动会异常大。为了处理这些极端回撤的情况，凯利指标的拥护者通常都会以低于凯利比率的头寸规模执行交易。表8-1展示了头寸规模为凯利比率的不同比例时，账户金额在减半前翻倍的概率。
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表8-1 账户金额在减半前翻倍的概率，与按凯利比率的不同比例来交易的关系
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通过以低于凯利比率的头寸规模进行交易并不是免费的午餐。由于交易规模的减小，实现账户增长目标所需要的时间将显著增加。期望的退出时间（也就是实现账户增长目标的时间）满足如下公式：
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这就是我们实现账户目标（B.W0）或者账户金额终止（A.W0）所需的期望时间。
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并没有强有力的、理论上的理由让我们根据凯利规则的某个比例来管理头寸规模。比例化的凯利规则并没有与最大化任何效用函数相对应。不过，有两个实践上的理由让我们使用比例化的凯利规则。
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1.这是一个有用的尝试，以在根据完全的凯利比率来实现潜在收益和降低随之带来的高波动率之间实现一个折中。
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2.这是一个承认很难战胜市场的适用于普通人的贝叶斯方法。例如，使用50%凯利比率意味着，在对我们的盈利优势和零盈利优势（即当前市场是其未来价值的完美预测值）之间进行一个平均。
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我们现在大致了解了使用凯利规则时的潜在收益和损失分布。我们也能计算出期望增长率、离差（也就是回撤概率），以及实现交易目标所需的期望时间。其实，我们还可以计算出未来账户金额的概率分布函数。Chapmam（2007）的一篇优秀论文研究了账户金额如何随时间变化而变化。为简便起见，我们假设账户初始值为1。Chapman得到的概率分布函数为：
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图8-6值得仔细研究。它展示了以凯利比率进行交易时，账户金额的概率分布函数（PDF）是如何随时间而变化的。我们可以观察到，随着时间的推移，账户金额的分布开始变宽并且逐渐偏离初始点，而且还可以观察到，当以凯利比率下注时，交易结果的分布是有偏的（这在之前讨论回撤时已经有所涉及，但是更多的图形能够更加强调这一点）。概率分布函数的峰值小于1。我们明白，从长期来看，凯利策略能够超越其他策略。但是我们也要清楚，一次交易结果的波动性会比较大，因此可能从短期来看效果会很差（预期增长率的作用需要一定的时间来超越波动率的影响），而长期的效果需要较多的时间才能够达到。
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图8-6 以凯利比率进行交易时，账户金额的概率分布函数随时间变化的关系
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图8-7显示了以低于凯利比率的某个比例进行交易时的结果（图中的例子为50%凯利比率）。此时PDF的峰值比起凯利比率结果显著右移，但还是保持了一定的偏度，使得大额的盈利可能发生。
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图8-7 当以50%凯利比率进行交易时，账户金额的概率分布函数随时间变化的关系
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相反地，图8-8展示了以大于凯利比率的某个比例来进行交易时的结果（图中的例子为200%凯利比率）。随着时间的推进，PDF逐渐向零逼近。
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使用凯利准则确定头寸规模大小是一个有争议的话题（关于这点，Poundstone于2005年曾经写过一篇很值得一看的论文）。其中大部分讨论的中心是，最大化期望财富函数的对数形式并不是投资者真正想要的。换句话说，效用函数的形式并不正确。在反对凯利规则的阵营里，包括诺贝尔奖得主（Samuelson，1979）、金融专业人士（Brown，2002）以及职业体育赛事赌徒（Miller，www.professionalgambler.com）。但是另一方阵营也拥有一些耳熟能详的支持者，包括Ed Thorpe（1984，1997）、Claude Shannon（信息理论的创始人）、David Shaw（对冲基金D.E.Shaw的创始人）以及William Miller（Legg Mason Value信托的管理人，这是唯一一只在SEC监管下能连续10年业绩超越标准普尔500指数的共同基金）。由于凯利方法的结果取决于特定效用函数的形式，因此有许多人持反对意见并不让人吃惊。我们暂时先不去研究其他人所希望的风险偏好函数的形式，而是先简单地看一些凯利准则的优缺点。
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