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1703565550 交易员所面临的情况不尽相同。尽管期望盈利大于0,我们还是希望能够应用Oscar的技巧,并在某种程度上平滑利润的生成过程。这个问题曾经由Browne(1999,2000)提出。特别是,他研究出了一个动态策略,能够在给定时间内,最大化达到特定财富值的概率。他的研究表明,在当前财富为W、目标财富为B、剩余时间为T的情形下,最优投资比例为:
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1703565555 其中:
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1703565563 r是利率。
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1703565565 Browne的研究表明,这个头寸规模策略和对冲一个二项看涨期权(binary call)的策略是一样的。这个结论很有见地,可以帮助期权交易员了解这个策略的特性。它同样还可以帮助我们把该结论应用于更加贴近现实的情景中,比如除了盈利目标外,我们可能还设有止损点。
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1703565567 如果我们所持有的股票价格服从通常的几何布朗运动(GBM),假设在时间T时,如果股价大于行权价K,期权支付的财富值为B,则这个期权的价值为(Haug,2007b):
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1703565572 期权的delta为:
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1703565577 这里,Δ是对冲组合中的股票数量。所以在任何时候,对冲头寸的价值为ΔxS。如果我们持有该期权的空头头寸,目标是去对冲它,因此我们会最大化在到期日能够偿付的概率。或者说,在任意时间点,财富总额可由式(8-35)得到,而我们的目标是使最终财富能够达到B的概率最大化。此时的最优策略是式(8-33)所示的策略,财富值x=C(t,S)。在代入公式之后,我们得到:
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1703565582 所以这个策略确实和二项看涨期权的对冲策略等价,此时我们把股价视为财富值W。图8-11和图8-12研究了这一动态头寸规模策略与恒定凯利策略的区别。它们假设股票的价格漂移为22%,年化波动率为45%,以及无风险利率为8%。此时的凯利比率为0.6914。我们的目标是在100个交易日内获利50%(虽然不是完全不切实际的目标,但是根据股票的漂移幅度和波动率,这是个很乐观的目标)。我们会发现,在最开始阶段,Browne策略要激进得多。由于设定的目标比较高,因此需要承担的风险也较大。刚开始的时候,策略所使用的杠杆为1.8倍,这是凯利策略所用杠杆的3倍。但随着财富值越来越接近目标值,我们所用的策略大幅调低了所承担的风险。在实践中,交易员可以实时监控目标值,并随时做出调整(这个过程会在第9章中进行讨论)。
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1703565587 图8-11 分别根据Browne和凯利策略所得到的累积财富
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1703565592 图8-12 Browne比率和实现目标的概率
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1703565594 Browne同样证明了,这个策略击败其他策略所需要的期望时间为:
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1703565599 所以现在我们把这个策略与之前的凯利策略的结果进行比较。比较的结果在表8-3中。
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