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在这个简单的模型里，我们假设资产价格与其均值的偏差服从独立的正态分布。所以在任何时候，我们只要从正态分布中抽取随机数并计算偏差，那么它与之前的结果便是互相独立的。对于一个正态过程而言，任何时候与均值的偏差大于S的概率为这个过程的积分形式。它等于1-N（S），这里的N（·）是累积正态分布函数。所以在T个时间间隔中，资产价格与均值的偏差大于等于S的期望次数为T[1-N（S）]次。由于正态分布是对称的，因此这和价差小于等于-S的期望次数是相同的。所以在T个时间间隔中，我们总共可以交易2T[1-N（S）]次。每次交易的利润为S，所以总利润为：
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为了找到使利润最大的S，我们对公式求导并且让结果等于0。此时我们得到：
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图8-18展示了不同入场点时损益的理论分布。
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图8-18 不同入场点时损益分布的形状
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实际的交易过程会有多大的差异呢？真实的金融过程与这个理想情况有3个重要的区别。
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（1）真实交易过程的分布存在厚尾。
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（2）下跌过程和上涨过程有不同的行为（例如，VIX是一个均值回复的过程，但它上涨的幅度通常会大于下跌的幅度）。
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（3）整个过程的标准差并不是一个常数。
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与其使用一个更复杂的模型，我们不如研究一下在实际交易均值回复的产品时，不同的入场点会对损益产生何种影响。我们用VIX来做模拟交易。我们知道VIX是一个均值回复过程。这里我们采用一个简单的布林通道规则：当VIX偏离其移动平均值到一定程度时，我们就相应地买入或者卖出。从模拟结果中我们发现，VIX距离移动平均值的偏离程度看上去服从正态分布，但是显然存在厚尾和偏斜的现象。我们只要让买入和卖出分别采用不同的通道，就可以解决偏斜的问题，但这不是研究的重点。我们也不是要得到一个在真实环境下可行的交易方法。这个研究只是为了说明，即便真实交易环境不完全服从简化假设，式（8-46）也可以应用其中。
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从图8-19中可以发现，损益函数的峰值很接近0.75倍标准差的理论值。激进的策略可以带来更多的利润。同时我们注意到，函数左侧的衰减速率比右侧快得多，这也意味着选择比最优点略低的交易频率可能会更安全一些。
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图8-19 交易VIX时损益分布的形状
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562390]
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） 本章小结
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虽然头寸规模管理并不能把亏损的交易变得盈利，但头寸规模管理策略仍会对我们交易的获利能力、方差和回撤带来显著影响。在开始交易之前就选择好头寸规模管理策略及其参数是非常重要的，并在之后对其进行调整时要非常慎重。请注意，我们很容易对好的或坏的结果过度反应。
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·在选择一个资金管理模式前，你必须十分清楚要实现的目标。资金目标、时间约束、能容忍的最大回撤等也必须预先明确。
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·当盈利优势越大时，头寸规模也应相应地增加。
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·当不确定性或者方差变大时，头寸规模应相应地缩小。
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·长期看来，凯利方法会超越其他所有方法。
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