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下面我们介绍纳什均衡，它是一种博弈的解的概念，可以对非常广泛类型的博弈作出严格得多的预测。我们通过参与者的纳什均衡战略绝不会在重复剔除严格劣战略的过程中被剔除掉，而重复剔除劣战略后所留战略却不一定满足纳什均衡战略的条件，来证明纳什均衡是一个比重复剔除严格劣战略要强的解的概念。以后各章我们还将证明在扩展式的博弈中，甚至纳什均衡对博弈结果的预测也可能是不精确的，从而还需要定义条件更为严格的均衡概念。
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博弈论基础 [:1704417379]
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1.1.C 纳什均衡的导出和定义
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导出纳什均衡的途径之一，是证明如果博弈论还可以为博弈问题提供一个惟一解，此解一定是纳什均衡，原因如下。设想在博弈论预测的博弈结果中，给每个参与者选定各自的战略，为使该预测是正确的，必须使参与者自愿选择理论给他推导出的战略。这样，每一参与者要选择的战略必须是针对其他参与者选择战略的最优反应，这种理论推测结果可以叫做“战略稳定”或“自动实施”的，因为没有参与人愿意独自离弃他所选定的战略，我们把这一状态称为纳什均衡。
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定义 在n个参与者标准式博弈G={S1，…，Sn；u1，…，un}中，如果战略组合满足对每一参与者i，是（至少不劣于）他针对其他n-1个参与者所选战略的最优反应战略，则称战略组合是该博弈的一个纳什均衡。即：
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对所有Si中的si都成立，亦即是以下最优化问题的解：
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为把该定义和开始提到的推导思路联系起来，设想有一标准式博弈G={Si，…，Sn；ul，…，un}，博弈论为它提供的解为战略组合{s’1，…，s’n}，如果{s’1，…，s’n}不是G的纳什均衡，就意味着存在一些参与人i，s’i不是针对{s’1，…，s’i-1，s’i+1，…，s’n}的最优反应战略，即在Si中存在s”i，使得：
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ui（s’1，…，s’i-1，s’i，s’i+1，…，s’n）＜ui（s’1，…，S’i-1，s”i，S’i+1，…，S’n）.
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那么，如果博弈论提供的战略组合解{S’1，…，s’n}不是纳什均衡，则至少有一个参与者有动因偏离理论的预测，使得博弈真实进行和理论预测不一致。和纳什均衡推导密切相关的是协议的理念：对给定的博弈，如果参与者之间要商定一个协议决定博弈如何进行，那么一个有效的协议中的战略组合必须是纳什均衡的战略组合，否则，至少有一个参与人会不遵守该协议。
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为更准确地理解这一概念，下面求解几个例题。考虑前面已描述过的三个标准式博弈——囚徒的困境、图1.1.1和图1.1.4。寻找博弈纳什均衡的一个最直接办法就是简单查看每一个可能的战略组合是否符合定义中不等式（NE）的条件。[3]在两人博弈中，这一方法开始的程序如下：对每一个参与者，并且对该参与者每一个可选战略，确定另一参与者相应的最优战略。图1.1.5中，就把图1.1.4所示博弈作了上述处理，对参与者i的每一个可选战略，在参与者j使用最优反应战略时的收益下面划了横线。例如，如果列参与人选择左，行参与人的最优战略将会是中（因为4比3和0都要大），于是我们在双变量矩阵（中，左）单元内行参与人的收益“4”下划一条横线。
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图1.1.5
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如果在一对战略中，每一参与人的战略都是对方战略的最优反应战略，则这对战略满足不等式（NE）的条件（亦即双变量矩阵相应单元的两个收益值下面都被划了横线）。这样，（下，右）是惟一一对满足（NE）的战略组合。同样的过程可得到囚徒困境中的战略组合（招认，招认）、图1.1.1中的战略组合（上，中）。这些战略组合就是各自博弈中惟一的纳什均衡。[4]
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下面我们重点分析纳什均衡和重复剔除严格劣战略均衡的关系。我们已经看到，囚徒困境和图1.1.1中的纳什均衡——分别为（招认，招认）和（上，中）——正是经过重复剔除严格劣战略后仅剩的战略组合。这一结果可总结为：如果用重复剔除严格劣战略把除战略组合外所有的战略组合都剔除掉，则该所存战略组合就是此博弈惟一的纳什均衡（参见在附录1.1.C中这一结论的证明）。不过，由于重复剔除严格劣战略并不经常会只剩下惟一的战略组合，纳什均衡作为比重复剔除严格劣战略更强的解的概念，自然受到更多关注，理由如下。如果战略组合是一个纳什均衡，它一定不会被重复剔除严格劣战略所剔除（同样参见附录中的证明），但也可能有重复剔除严格劣战略无法剔除的战略组合，其本身却和纳什均衡一点儿关系都没有。为理解这一点，请想一下图1.1.4所示博弈，纳什均衡给出了惟一解（下，右），但重复剔除严格劣战略却给出了最大不确定性的预测：没有任何战略组合被剔除，什么结果都有可能出现。
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证明了纳什均衡是一个比重复剔除严格劣战略条件更强的解的概念之后，我们还必须解决一个问题，就是纳什均衡作为博弈解的概念，条件是否太强了，即我们能否确定纳什均衡一定是存在的？纳什（1950）证明了在任何有限博弈（即参与者n和战略集S1，…，Sn都是有限的博弈）中，都存在至少一个纳什均衡（这一均衡可能包含了混合战略，我们将在1.3.A中讨论，并参见1.3.B中关于纳什定理的精确表述）。古诺（1838）在双头垄断模型这一特定的环境中提出了同样的均衡概念，并通过构造的方法证明了模型中均衡的存在性（参见第1.2.A节）。在本书的每一个应用分析中，我们都将沿袭古诺的思路：即将通过构造一个纳什均衡（或条件更强的均衡）的方法，证明均衡本身的存在性。不过在一些理论章节中，也有直接依据纳什定理（或条件更强时的类似定理），简单断定均衡存在的情况。
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我们用另一经典例子作为本节小结——性别战博弈。这一例子表明一个博弈可以有多个纳什均衡，并且在第1.3.B和第3.2.A节讨论混合战略时也用得到。关于这一博弈的传统表述（要知道这一博弈从20世纪50年代就开始使用了），是一男一女试图决定安排一个晚上的娱乐内容，我们分析这一博弈的中性版本。不在同一地方工作的帕特和克里斯必须就去听歌剧和看职业拳击赛选择其一，帕特和克里斯都希望两人能在一起渡过一个夜晚，而不愿分开，但帕特更希望能一起看拳击比赛，克里斯则希望能在一起欣赏歌剧，如下面双变量矩阵所示：
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性别战博弈
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