1704417693
1704417694
1704417695
1704417696
对所有Si中的si都成立，亦即是以下最优化问题的解：
1704417697
1704417698
1704417699
1704417700
1704417701
为把该定义和开始提到的推导思路联系起来，设想有一标准式博弈G={Si，…，Sn；ul，…，un}，博弈论为它提供的解为战略组合{s’1，…，s’n}，如果{s’1，…，s’n}不是G的纳什均衡，就意味着存在一些参与人i，s’i不是针对{s’1，…，s’i-1，s’i+1，…，s’n}的最优反应战略，即在Si中存在s”i，使得：
1704417702
1704417703
ui（s’1，…，s’i-1，s’i，s’i+1，…，s’n）＜ui（s’1，…，S’i-1，s”i，S’i+1，…，S’n）.
1704417704
1704417705
那么，如果博弈论提供的战略组合解{S’1，…，s’n}不是纳什均衡，则至少有一个参与者有动因偏离理论的预测，使得博弈真实进行和理论预测不一致。和纳什均衡推导密切相关的是协议的理念：对给定的博弈，如果参与者之间要商定一个协议决定博弈如何进行，那么一个有效的协议中的战略组合必须是纳什均衡的战略组合，否则，至少有一个参与人会不遵守该协议。
1704417706
1704417707
为更准确地理解这一概念，下面求解几个例题。考虑前面已描述过的三个标准式博弈——囚徒的困境、图1.1.1和图1.1.4。寻找博弈纳什均衡的一个最直接办法就是简单查看每一个可能的战略组合是否符合定义中不等式（NE）的条件。[3]在两人博弈中，这一方法开始的程序如下：对每一个参与者，并且对该参与者每一个可选战略，确定另一参与者相应的最优战略。图1.1.5中，就把图1.1.4所示博弈作了上述处理，对参与者i的每一个可选战略，在参与者j使用最优反应战略时的收益下面划了横线。例如，如果列参与人选择左，行参与人的最优战略将会是中（因为4比3和0都要大），于是我们在双变量矩阵（中，左）单元内行参与人的收益“4”下划一条横线。
1704417708
1704417709
1704417710
1704417711
1704417712
图1.1.5
1704417713
1704417714
如果在一对战略中，每一参与人的战略都是对方战略的最优反应战略，则这对战略满足不等式（NE）的条件（亦即双变量矩阵相应单元的两个收益值下面都被划了横线）。这样，（下，右）是惟一一对满足（NE）的战略组合。同样的过程可得到囚徒困境中的战略组合（招认，招认）、图1.1.1中的战略组合（上，中）。这些战略组合就是各自博弈中惟一的纳什均衡。[4]
1704417715
1704417716
1704417717
1704417718
下面我们重点分析纳什均衡和重复剔除严格劣战略均衡的关系。我们已经看到，囚徒困境和图1.1.1中的纳什均衡——分别为（招认，招认）和（上，中）——正是经过重复剔除严格劣战略后仅剩的战略组合。这一结果可总结为：如果用重复剔除严格劣战略把除战略组合外所有的战略组合都剔除掉，则该所存战略组合就是此博弈惟一的纳什均衡（参见在附录1.1.C中这一结论的证明）。不过，由于重复剔除严格劣战略并不经常会只剩下惟一的战略组合，纳什均衡作为比重复剔除严格劣战略更强的解的概念，自然受到更多关注，理由如下。如果战略组合是一个纳什均衡，它一定不会被重复剔除严格劣战略所剔除（同样参见附录中的证明），但也可能有重复剔除严格劣战略无法剔除的战略组合，其本身却和纳什均衡一点儿关系都没有。为理解这一点，请想一下图1.1.4所示博弈，纳什均衡给出了惟一解（下，右），但重复剔除严格劣战略却给出了最大不确定性的预测：没有任何战略组合被剔除，什么结果都有可能出现。
1704417719
1704417720
证明了纳什均衡是一个比重复剔除严格劣战略条件更强的解的概念之后，我们还必须解决一个问题，就是纳什均衡作为博弈解的概念，条件是否太强了，即我们能否确定纳什均衡一定是存在的？纳什（1950）证明了在任何有限博弈（即参与者n和战略集S1，…，Sn都是有限的博弈）中，都存在至少一个纳什均衡（这一均衡可能包含了混合战略，我们将在1.3.A中讨论，并参见1.3.B中关于纳什定理的精确表述）。古诺（1838）在双头垄断模型这一特定的环境中提出了同样的均衡概念，并通过构造的方法证明了模型中均衡的存在性（参见第1.2.A节）。在本书的每一个应用分析中，我们都将沿袭古诺的思路：即将通过构造一个纳什均衡（或条件更强的均衡）的方法，证明均衡本身的存在性。不过在一些理论章节中，也有直接依据纳什定理（或条件更强时的类似定理），简单断定均衡存在的情况。
1704417721
1704417722
我们用另一经典例子作为本节小结——性别战博弈。这一例子表明一个博弈可以有多个纳什均衡，并且在第1.3.B和第3.2.A节讨论混合战略时也用得到。关于这一博弈的传统表述（要知道这一博弈从20世纪50年代就开始使用了），是一男一女试图决定安排一个晚上的娱乐内容，我们分析这一博弈的中性版本。不在同一地方工作的帕特和克里斯必须就去听歌剧和看职业拳击赛选择其一，帕特和克里斯都希望两人能在一起渡过一个夜晚，而不愿分开，但帕特更希望能一起看拳击比赛，克里斯则希望能在一起欣赏歌剧，如下面双变量矩阵所示：
1704417723
1704417724
1704417725
1704417726
1704417727
性别战博弈
1704417728
1704417729
（歌剧，歌剧）和（拳击，拳击）都是纳什均衡。
1704417730
1704417731
以上我们论证了如果博弈论可以为一个博弈提供惟一解，此解一定是一个纳什均衡。这一命题没有提及博弈论不能提供惟一解的可能情况。同时还论证了如果参与者之间能就如何进行给定的博弈达成一个协议，该协议也一定是一个纳什均衡，但这一命题同样没有考虑不能达成协议的可能情况。在一些有多个纳什均衡的博弈中，有一个均衡比其他均衡明细占优（后面各章的主要理论内容就是找出不同类型博弈的这种占优均衡），这时，多个纳什均衡的存在本身也不会引出其他问题。不过，在上面讲的性别战博弈中，（歌剧，歌剧）和（拳击，拳击）又难分优劣，这说明博弈论对有些博弈并不能提供惟一解，参与者间也不能就该博弈的进行达成协议。[5]在这样的博弈中，纳什均衡用于预测博弈将如何进行的作用就大大减弱了。
1704417732
1704417733
附录1.1.C
1704417734
1704417735
本附录是关于1.1.C提到的两个命题的证明，跳过这些证明对以后内容的理解不会有很大影响。不过，对于不太谙熟正规定义及证明操作的读者，掌握这些证明程序也是一种有益的训练。
1704417736
1704417737
1704417738
命题A 在n个参与者的标准式博弈G={S1，…，Sn；u1，…，un}中，如果重复剔除严格劣战略剔除掉除战略组合外的所有战略，那么这一战略组合为该博弈惟一的纳什均衡。
1704417739
1704417740
1704417741
命题B 在n个参与者的标准式博弈G={S1，…，Sn；u1，…，un}中，如果战略是一个纳什均衡，那么它不会被重复剔除严格劣战略所剔除。
1704417742