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1704417897 经过以上两步剔除，每一企业选择产量的战略空间只剩下了（a-c）/4到（a-c）/2之间的区间。重复上面的过程可以把剩余战略空间限制得越来越小。到达极限时，这一区间就成为一个点。

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1704417899 重复剔除严格劣战略的方法也可以用图形来描述，这要用到我们前面的一个观察结论（附注1，同时参见1.3.A中的讨论）：当且仅当对其他参与者的战略，无法作出这样的推断，使某一战略成为最优反应战略，该战略为严格劣战略。由于本模型只有两个企业，我们可以将这一结论化为：当且仅当没有任何qj可使qi成为企业i的最优反应战略时，qi为严格劣战略。我们仍只讨论重复剔除过程的前两步。第一，对企业i而言，生产超过垄断产量qm=（a-c）/2永远不会是最优反应。我们以企业2的最优反应函数为例来证明这一点：在图1.2.1中，当q1=0时，R2（q1）等于qm，且随q1的增加而递减。即对任意的qj≥0如果企业i相信企业j将选择qj，企业i的最优反应就必然小于或等于qm；不存在这样的qj，使i的最优反应超过qm。第二，已知企业j产量的上限，我们可以导出企业i最优反应的下限：如果qj≤（a-c）/2，则有Ri（qj）≥（a-c）/4，如图1.2.2所示企业2的最优反应。[8]

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1704417904 图1.2.2

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1704417907 和上面相似，重复这一剔除过程就会得到单一的产量。

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1704417909 为总结本节内容，我们把古诺模型稍作变动，使重复剔除严格劣战略的程序不能得到惟一解。要做到这一点，只需在上面的双头垄断模型中加入一个或更多的企业。我们将会发现讨论双头垄断时的前两步中，第一步依然成立，但是这一过程也只能中止于此了。也就是说，当企业数目多于两个时，重复剔除严格劣战略只能得到非常不精确的预测，即每个企业的产出不会超过垄断条件下的产量。（这与图1.1.4非常类似，在那里这一方法不能剔除掉任何战略。）

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1704417911 为严谨起见，我们考虑3个企业的例子。令Q-i表示除i之外的企业选择的产出之和，并令πi（qi，Q-i）=qi（a-qi-Q-i-c）），且qi+Q-i＜a（因为如果qi+Q-i≥a，则πi（qi，Q-i）=-cqi），这时垄断产出qm=（a-c）/2严格优于任何更高的产量。即对任意x＞0，πi（qm，Q-i）＞πi（qm+x，Q-i）对所有Q-i≥0都成立。这和双头垄断条件下的第一步完全相同。不过，由于除i之外还有两个企业，而qj和qk都在0到（a-c）/2之间，我们对Q-i所能作的惟一界定就是在0和a-c之间。这也意味着对企业i而言，任何qi≥0都不是严格劣战略，因为对在0到（a-c）/2间的任意qi，都存在相应的在0到a-c间的Q-i（具体地说，Q-i=a-c-2qi），使qi成为企业i针对Q-i的最优反应战略。从而就无法再对其余战略空间做进一步剔除。

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1704417913 博弈论基础 [:1704417382]

1704417914 1.2.B 贝特兰德的双头垄断模型

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1704417916 下面我们讨论双头垄断中两个企业相互竞争的另一模型。贝特兰德（1883）提出企业在竞争时选择的是产品价格，而不像古诺模型中选择产量。首先应该明确贝特兰德模型和古诺模型是两个不同的博弈，这一点十分重要：参与者的战略空间不同，收益函数不同，并且（随后就可清楚地看到）在两个模型的纳什均衡中，企业行为也不同。一些学者分别用古诺均衡和贝特兰德均衡来概括所有这些不同点，但这种提法有时可能会导致误解：它只表示古诺和贝特兰德博弈的差别，以及两个博弈中均衡行为的差别，而不是博弈中使用的均衡概念不同。在两个博弈中，所用的都是上节我们定义的纳什均衡。

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1704417918 我们考虑两种有差异的产品（产品完全相同的情况参见习题1.7）。如果企业1和企业2分别选择价格p1和p2，消费者对企业i的产品的需求为：

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1704417920 qi（pi，pj）=a-pi+bpj，

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1704417922 其中6＞0，即只限于企业i的产品为企业j产品的替代品的情况（这个需求函数在现实中并不存在，因为只要企业j的产品价格足够高，无论企业i要多高的价格，对其产品的需求都是正的。后面将会讲到，只有在b＜2时问题才有意义）。和前面讨论过的古诺模型相似，我们假定企业生产没有固定成本，并且边际成本为常数c，c＜a，两个企业是同时行动（选择各自的价格）的。

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1704417924 和上节相同，要寻找纳什均衡首先需要把对问题的叙述化为博弈的标准式。参与者仍为两个，不过这里每个企业可以选择的战略是不同的价格，而不再是其产品产量。我们假定小于0的价格是没有意义的，但企业可选择任意非负价格——比方说用便士标价的商品，并无最高的价格限制。这样，每个企业的战略空间又可以表示为所有非负实数Si=[0，∞），其中企业i的一个典型战略si是所选择的价格pi＞0。

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1704417926 我们仍假定每个企业的收益函数等于其利润额，当企业i选择价格pi，其竞争对手选择价格pj时，企业i的利润为：

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1704417928 πi（pi，pj）=qi（pi，pj）[pi-c]=[a-pi+bpj][pi-c].

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