打字猴:1.704417903e+09
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1704417904 图1.2.2
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1704417907 和上面相似,重复这一剔除过程就会得到单一的产量。
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1704417909 为总结本节内容,我们把古诺模型稍作变动,使重复剔除严格劣战略的程序不能得到惟一解。要做到这一点,只需在上面的双头垄断模型中加入一个或更多的企业。我们将会发现讨论双头垄断时的前两步中,第一步依然成立,但是这一过程也只能中止于此了。也就是说,当企业数目多于两个时,重复剔除严格劣战略只能得到非常不精确的预测,即每个企业的产出不会超过垄断条件下的产量。(这与图1.1.4非常类似,在那里这一方法不能剔除掉任何战略。)
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1704417911 为严谨起见,我们考虑3个企业的例子。令Q-i表示除i之外的企业选择的产出之和,并令πi(qi,Q-i)=qi(a-qi-Q-i-c)),且qi+Q-i<a(因为如果qi+Q-i≥a,则πi(qi,Q-i)=-cqi),这时垄断产出qm=(a-c)/2严格优于任何更高的产量。即对任意x>0,πi(qm,Q-i)>πi(qm+x,Q-i)对所有Q-i≥0都成立。这和双头垄断条件下的第一步完全相同。不过,由于除i之外还有两个企业,而qj和qk都在0到(a-c)/2之间,我们对Q-i所能作的惟一界定就是在0和a-c之间。这也意味着对企业i而言,任何qi≥0都不是严格劣战略,因为对在0到(a-c)/2间的任意qi,都存在相应的在0到a-c间的Q-i(具体地说,Q-i=a-c-2qi),使qi成为企业i针对Q-i的最优反应战略。从而就无法再对其余战略空间做进一步剔除。
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1704417913 博弈论基础 [:1704417382]
1704417914 1.2.B 贝特兰德的双头垄断模型
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1704417916 下面我们讨论双头垄断中两个企业相互竞争的另一模型。贝特兰德(1883)提出企业在竞争时选择的是产品价格,而不像古诺模型中选择产量。首先应该明确贝特兰德模型和古诺模型是两个不同的博弈,这一点十分重要:参与者的战略空间不同,收益函数不同,并且(随后就可清楚地看到)在两个模型的纳什均衡中,企业行为也不同。一些学者分别用古诺均衡和贝特兰德均衡来概括所有这些不同点,但这种提法有时可能会导致误解:它只表示古诺和贝特兰德博弈的差别,以及两个博弈中均衡行为的差别,而不是博弈中使用的均衡概念不同。在两个博弈中,所用的都是上节我们定义的纳什均衡。
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1704417918 我们考虑两种有差异的产品(产品完全相同的情况参见习题1.7)。如果企业1和企业2分别选择价格p1和p2,消费者对企业i的产品的需求为:
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1704417920 qi(pi,pj)=a-pi+bpj,
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1704417922 其中6>0,即只限于企业i的产品为企业j产品的替代品的情况(这个需求函数在现实中并不存在,因为只要企业j的产品价格足够高,无论企业i要多高的价格,对其产品的需求都是正的。后面将会讲到,只有在b<2时问题才有意义)。和前面讨论过的古诺模型相似,我们假定企业生产没有固定成本,并且边际成本为常数c,c<a,两个企业是同时行动(选择各自的价格)的。
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1704417924 和上节相同,要寻找纳什均衡首先需要把对问题的叙述化为博弈的标准式。参与者仍为两个,不过这里每个企业可以选择的战略是不同的价格,而不再是其产品产量。我们假定小于0的价格是没有意义的,但企业可选择任意非负价格——比方说用便士标价的商品,并无最高的价格限制。这样,每个企业的战略空间又可以表示为所有非负实数Si=[0,∞),其中企业i的一个典型战略si是所选择的价格pi>0。
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1704417926 我们仍假定每个企业的收益函数等于其利润额,当企业i选择价格pi,其竞争对手选择价格pj时,企业i的利润为:
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1704417928 πi(pi,pj)=qi(pi,pj)[pi-c]=[a-pi+bpj][pi-c].
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1704417932 那么,价格组合()若是纳什均衡,对每个企业i,应是以下最优化问题的解:
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1704417937 对企业i求此最优化问题的解为
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1704417943 由上可知,如果价格组合()为纳什均衡,企业选择的价格应满足
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1704417948 解这一对方程式得:
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