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博弈论基础 [:1704417384]
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1.2.D 公共财问题
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至迟从休谟（1739）开始，政治哲学和经济学家已经认识到如果公民只关注个人福利，公共物品就会出现短缺，并且公共资源也会过度使用。今天，只要随便看一下地球的环境，就能体会到这一观念的力量。哈丁（Hardin，1968）被广为引用的论文使这一问题引起了非经济学者的关注。在此，我们分析牧场的例子。
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考虑一个有n个村民的村庄，每年夏天，所有村民都在村庄公共的草地上放牧。用gi表示村民i放养羊的头数，则村庄里羊的总头数G=g1+…+gn。购买和照看一只羊的成本为c，c不随一户村民拥有羊的数目多少而变化。当草地上羊的总头数为G时，一个村民养一只羊的价值为υ（G）。由于一只羊要生存，至少需要一定数量的青草，草地可以放牧羊的总数有一个上限Gmax：当G＜Gmax时，υ（G）＞0；但G≥Gmax时，υ（G）=0。还有，由于最初的一些羊有充足的空间放牧，再加一只不会对已经放养的羊产生太大影响，但当草地上放养羊的总数已多到恰好只能维生的时候（即G恰好等于Gmax时），再增加一只就会对其他已经放养的羊带来极大损害。用公式表述为：对，G＜Gmax，υ（G）＜0，且υ”（G）＜0，如图1.2.4所示。
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图1.2.4
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春天时，村民同时选择计划放养的羊的数量。假定羊是连续可分割的，村民i的一个战略就是他选择的在村庄草地上放养羊的数量，gi。假设战略空间为[0，∞），它包含了可以给村民带来收益的所有可能选择；[0，Gmax）其实也足够了。当其他村民养羊数量为（g1，…，gi-1，gi+1，…，gn）时，村民i放养gi只羊获得的收益为
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gi·υ（g1+…+gi-l+gi+gi+1+…+gn）-cgi. （1.2.4）
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这样，若为纳什均衡，则对每个村民i，当其他村民选择时，必须使（1.2.4）最大化。这一最优化问题的一阶条件为
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这里代表，将代入（1.2.5），并把所有村民的一阶条件加总，然后再除以n得
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其中，G*表示。但是，全社会的最优选择，用G**表示，应满足
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它的一阶条件为
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υ（G**+G**υ’（G**）-c=0. （1.2.7）
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将（1.2.6）与（1.2.7）相比较可知，[12]G*＞G**：和社会最优的条件相比，纳什均衡时放养羊的总数太多了。（1.2.5）所示的一阶条件表示一个已经放养gi只羊的村民再多养一只羊的收益（或更严格一点讲，是再多养“一点儿”羊的收益）。这多出的一只羊的价值为，其成本为c。对该村民已经养的羊的损害为每只羊，或总共为。公共资源被过度使用了，因为每个村民只考虑他们自己的利益，并不管其行为对其他村民带来的后果，这就出现了（1.2.6）中的，而非（1.2.7）中的G**υ’（G**）。
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