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其中，G*表示。但是，全社会的最优选择，用G**表示，应满足
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它的一阶条件为
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υ（G**+G**υ’（G**）-c=0. （1.2.7）
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将（1.2.6）与（1.2.7）相比较可知，[12]G*＞G**：和社会最优的条件相比，纳什均衡时放养羊的总数太多了。（1.2.5）所示的一阶条件表示一个已经放养gi只羊的村民再多养一只羊的收益（或更严格一点讲，是再多养“一点儿”羊的收益）。这多出的一只羊的价值为，其成本为c。对该村民已经养的羊的损害为每只羊，或总共为。公共资源被过度使用了，因为每个村民只考虑他们自己的利益，并不管其行为对其他村民带来的后果，这就出现了（1.2.6）中的，而非（1.2.7）中的G**υ’（G**）。
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博弈论基础 [:1704417385]
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博弈论基础 1.3 理论发展：混合战略和均衡的存在性
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博弈论基础 [:1704417386]
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1.3.A 混合战略
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在1.1.C中我们把定义为参与者i可以选择的战略集，并且对每一个参与者i，为其针对另外n-1个参与者所选战略的最优反应，则战略组合为博弈的纳什均衡，即
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对Si中每一si都成立。根据这一定义，下图所示“猜硬币”的博弈是不存在纳什均衡的。
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猜硬币
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在此博弈中，每一参与者的战略空间都是（正面，背面）。为理解矩阵表中所列参与者各自的收益，设想每一参与人拿有一枚硬币，并必须选择是出正面向上还是背面向上。若两枚硬币是一致的（即全部正面向上或全部背面向上），则参与人2赢走参与人1的硬币；如果两枚硬币不一致（一正一反），参与人1赢得参与人2的硬币。在此博弈中，没有一组战略能够满足（NE）的条件，因为如果参与者的战略是一致的——（正面，正面）或（背面，背面）——那么参与人1就希望能改变战略，如果参与者的战略不一致——（正面，背面）或（背面，正面）——则参与人2将希望能改变战略。
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猜硬币博弈一个非常突出的特点是每个参与者都试图能先猜中对方的战略。这一类博弈在扑克、棒球、战争等其他环境中也经常会发生。在用扑克牌赌博的博弈中，类似的问题是如何决定使诈的次数：如果大家都知道参与者i是从来不使诈的，那么任何时候当i下很高的赌注时他的对手就会认输，但这又使得i偶然使诈会有利可图；另一方面，使诈次数过多亦非上策。在棒球比赛中，假设投球手既可以掷出快球，又可掷出曲线球，那么击球手能够击中任何一类投球的前提是，他能正确估计到投球手将掷出哪一类球。与之相似，在战争中，假设进攻方可能在两个攻击点（或两条进攻路线，比如“陆路或水路”）中选择其一，防御方可以抵御来自任一方向的攻击，但也只在它正确预测到进攻路线的前提下。
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在博弈中，一旦每个参与者都竭力猜测其他参与者的战略选择，就不存在纳什均衡（至少不存在第1.1.C节所定义的纳什均衡），因为这时参与者的最优行为是不确定的，而博弈的结果必然要包含这种不确定性。现在引入混合战略的概念，我们可以将其解释为一个参与者对其他参与者行为的不确定性。（这一解释被豪尔绍尼（Harsanyi，1973）深化，在第3.2.A节中我们将进一步讨论到）在下一节我们将把纳什均衡的定义扩展到包含混合战略，从而可以分析诸如猜硬币、扑克、棒球及战争等博弈的解出现的不确定性。
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规范地表述，参与者i的一个混合战略是在其战略空间Si中（一些或全部）战略的概率分布，此后我们称Si中的战略为i的纯战略（pure strategies）。对本章所分析的完全信息同时行动博弈来说，一个参与者的纯战略就是他可以选择的不同行动，例如在猜硬币博弈中，Si内含有两个纯战略，分别为正面和背面，这时参与者i的一个混合战略为概率分布（q，1-q），其中q为出正面向上的概率，1-q为出背面向上的概率，且0≤q≤1混合战略（0，1）表示参与者的一个纯战略，即只出背面向上，类似地，混合战略（1，0）表示只出正面向上的纯战略。
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作为混合战略的第二个例子，请回顾图1.1.1所示博弈，参与者2有三个纯战略：左、中、右，这时他的一个混合战略为概率分布（q，r，1-q-r），其中q表示出左的概率，r表示出中的概率，1-q-r表示出右的概率，和前面相同，0≤q≤1，且这里还应满足0≤r≤1及0≤q+r≤l。在此博弈中，混合战略（1/3，1/3，1/3）表示参与者出左、中、右的概率相同，而（1/2，1/2，0）表示出左、中的概率相同，但绝不可能选择出右。和在所有情况下一样，参与者的一个纯战略只是混合战略的一种特例，例如参与者2只出左的纯战略可表示为混合战略（1，0，0）。