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当q=1/2时，参与者对（q，1-q）最优反应的性质有所变化。前面已经提到，在q=l/2时，参与者1选择纯战略正面或背面是无差异的。而且，因为参与者1在（1.3.1）中的期望收益在q=1/2时与r无关，所有混合战略（r，1-r）对1都是无差异的。也就是说，当q=1/2时，对于0到1之间的任何r，混合战略（r，1-r）都是（q，1-q）的最优反应。那么，r*（1/2）就是[0，1]间的整个区间，即图1.3.3所示r*（q）中间的竖线段。在第1.2.A节分析古诺模型时，我们称ri（qj）为企业i的最优反应函数。在这里，因为存在一个q的值，使r*（q）有不止一个解，我们称r*（q）为参与者1的最优反应对应（best-response correspondence）。
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为在更为一般的条件下推导出参与者i对参与者j混合战略的最优反应，进一步给出扩展的纳什均衡的正式定义，我们首先分析两个参与者的情况，从而可以通过最简单的方式说明主要思想。令J表示S1中包含纯战略的个数，K表示S2包含纯战略的个数，则S1={s11，…，s1J}，S2={s21，…，s2K}，我们用s1j和s2k分别表示S1、S2中任意一个纯战略。
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如果参与者1推断参与者2将以（Ρ21，…，Ρ2k）的概率选择战略（s21，…，Ρ2k），则参与者1选择纯战略s1j的期望收益为：
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且参与者1选择混合战略P1（Ρ11，…，Ρ1J）的期望收益为：
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其中，Ρ1j×Ρ2k表示参与者选择s1j且参与者2选择s2k的概率。根据（1.3.3），参与者1选择混合战略P1的期望收益，等于按（1.3.2）给出的每一个纯战略{s11，…，s1J}的期望收益的加权和，其权重分别为各自的概率（Ρ11，…，Ρ1J），那么，参与者1的混合战略（Ρ11，…，Ρ1J）要成为他对参与者2战略P2的最优反应，其中任何大于0的Ρ1j相对应的纯战略必须满足：
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对S1中每一个s’1j都成立。这表明，一个混合战略要成为P2的最优反应，混合战略中每一个概率大于0的纯战略本身也必须是对P2的最优反应。反过来讲，如果参与者1有n个纯战略都是P2的最优反应，则这些纯战略全部或部分的任意线性组合（同时其他纯战略的概率为0）形成的混合战略同样是参与者1对P2的最优反应。
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为给出扩展的纳什均衡的正式定义，我们还需要计算当参与者1和2分别选择混合战略P1和P2时参与者2的期望收益。如果参与者2推断参与者1将分别以（Ρ11，…，Ρ1J）的概率选择战略{s11，…，s1J}则参与者2分别以概率（Ρ21，…，Ρ2k）选择战略（s21，…，s2k）时的期望收益为
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在给出υ1（P1，P2）和P2）后，我们可以重新表述纳什均衡的必要条件，即每一参与者的混合战略是另一参与者混合战略的最优反应：一对混合战略（，）要成为纳什均衡，必须满足
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对S1中战略所有可能的概率分布P1都成立，并且必须满足
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对S2中战略所有可能的概率分布P2都成立。
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定义 在两个参与者标准式博弈G={S1，S2；u1，u2}中，混合战略是纳什均衡的充要条件为：每一参与者的混合战略是另一参与者混合战略的最优反应，即（1.3.4）和（1.3.5）必须同时成立。
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下面我们用这一定义分析猜硬币博弈和性别战博弈，为此，我们运用图1.3.3中介绍的图示法，把参与者i对参与者j混合战略的最优反应在图上表示出来。为完成图1.3.3的内容，还需计算最优的q值，用q*（r）表示，从而使（q，l-q）成为参与者2对参与者1战略（r，1-r）的最优反应。结果如图1.3.4所示，如果r＜1/2，则2的最优反应为背面，于是q*（r）=0；相似地，如果r＞1/2，则2的最优反应是正面，于是q*（r）=1。如果r=1/2，则不仅参与者2出正面和出背面是无差别的，而且对其所有混合战略（q，1-q）也都完全相同，于是q*（1/2）为整个区间[0，1]。
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