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当q=1/2时,参与者对(q,1-q)最优反应的性质有所变化。前面已经提到,在q=l/2时,参与者1选择纯战略正面或背面是无差异的。而且,因为参与者1在(1.3.1)中的期望收益在q=1/2时与r无关,所有混合战略(r,1-r)对1都是无差异的。也就是说,当q=1/2时,对于0到1之间的任何r,混合战略(r,1-r)都是(q,1-q)的最优反应。那么,r*(1/2)就是[0,1]间的整个区间,即图1.3.3所示r*(q)中间的竖线段。在第1.2.A节分析古诺模型时,我们称ri(qj)为企业i的最优反应函数。在这里,因为存在一个q的值,使r*(q)有不止一个解,我们称r*(q)为参与者1的最优反应对应(best-response correspondence)。
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为在更为一般的条件下推导出参与者i对参与者j混合战略的最优反应,进一步给出扩展的纳什均衡的正式定义,我们首先分析两个参与者的情况,从而可以通过最简单的方式说明主要思想。令J表示S1中包含纯战略的个数,K表示S2包含纯战略的个数,则S1={s11,…,s1J},S2={s21,…,s2K},我们用s1j和s2k分别表示S1、S2中任意一个纯战略。
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如果参与者1推断参与者2将以(Ρ21,…,Ρ2k)的概率选择战略(s21,…,Ρ2k),则参与者1选择纯战略s1j的期望收益为:
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且参与者1选择混合战略P1(Ρ11,…,Ρ1J)的期望收益为:
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其中,Ρ1j×Ρ2k表示参与者选择s1j且参与者2选择s2k的概率。根据(1.3.3),参与者1选择混合战略P1的期望收益,等于按(1.3.2)给出的每一个纯战略{s11,…,s1J}的期望收益的加权和,其权重分别为各自的概率(Ρ11,…,Ρ1J),那么,参与者1的混合战略(Ρ11,…,Ρ1J)要成为他对参与者2战略P2的最优反应,其中任何大于0的Ρ1j相对应的纯战略必须满足:
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对S1中每一个s’1j都成立。这表明,一个混合战略要成为P2的最优反应,混合战略中每一个概率大于0的纯战略本身也必须是对P2的最优反应。反过来讲,如果参与者1有n个纯战略都是P2的最优反应,则这些纯战略全部或部分的任意线性组合(同时其他纯战略的概率为0)形成的混合战略同样是参与者1对P2的最优反应。
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为给出扩展的纳什均衡的正式定义,我们还需要计算当参与者1和2分别选择混合战略P1和P2时参与者2的期望收益。如果参与者2推断参与者1将分别以(Ρ11,…,Ρ1J)的概率选择战略{s11,…,s1J}则参与者2分别以概率(Ρ21,…,Ρ2k)选择战略(s21,…,s2k)时的期望收益为
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在给出υ1(P1,P2)和P2)后,我们可以重新表述纳什均衡的必要条件,即每一参与者的混合战略是另一参与者混合战略的最优反应:一对混合战略(,)要成为纳什均衡,必须满足
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对S1中战略所有可能的概率分布P1都成立,并且必须满足
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对S2中战略所有可能的概率分布P2都成立。
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定义 在两个参与者标准式博弈G={S1,S2;u1,u2}中,混合战略是纳什均衡的充要条件为:每一参与者的混合战略是另一参与者混合战略的最优反应,即(1.3.4)和(1.3.5)必须同时成立。
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下面我们用这一定义分析猜硬币博弈和性别战博弈,为此,我们运用图1.3.3中介绍的图示法,把参与者i对参与者j混合战略的最优反应在图上表示出来。为完成图1.3.3的内容,还需计算最优的q值,用q*(r)表示,从而使(q,l-q)成为参与者2对参与者1战略(r,1-r)的最优反应。结果如图1.3.4所示,如果r<1/2,则2的最优反应为背面,于是q*(r)=0;相似地,如果r>1/2,则2的最优反应是正面,于是q*(r)=1。如果r=1/2,则不仅参与者2出正面和出背面是无差别的,而且对其所有混合战略(q,1-q)也都完全相同,于是q*(1/2)为整个区间[0,1]。
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