1704418172
且参与者1选择混合战略P1（Ρ11，…，Ρ1J）的期望收益为：
1704418173
1704418174
1704418175
1704418176
1704418177
其中，Ρ1j×Ρ2k表示参与者选择s1j且参与者2选择s2k的概率。根据（1.3.3），参与者1选择混合战略P1的期望收益，等于按（1.3.2）给出的每一个纯战略{s11，…，s1J}的期望收益的加权和，其权重分别为各自的概率（Ρ11，…，Ρ1J），那么，参与者1的混合战略（Ρ11，…，Ρ1J）要成为他对参与者2战略P2的最优反应，其中任何大于0的Ρ1j相对应的纯战略必须满足：
1704418178
1704418179
1704418180
1704418181
1704418182
对S1中每一个s’1j都成立。这表明，一个混合战略要成为P2的最优反应，混合战略中每一个概率大于0的纯战略本身也必须是对P2的最优反应。反过来讲，如果参与者1有n个纯战略都是P2的最优反应，则这些纯战略全部或部分的任意线性组合（同时其他纯战略的概率为0）形成的混合战略同样是参与者1对P2的最优反应。
1704418183
1704418184
为给出扩展的纳什均衡的正式定义，我们还需要计算当参与者1和2分别选择混合战略P1和P2时参与者2的期望收益。如果参与者2推断参与者1将分别以（Ρ11，…，Ρ1J）的概率选择战略{s11，…，s1J}则参与者2分别以概率（Ρ21，…，Ρ2k）选择战略（s21，…，s2k）时的期望收益为
1704418185
1704418186
1704418187
1704418188
1704418189
1704418190
1704418191
1704418192
在给出υ1（P1，P2）和P2）后，我们可以重新表述纳什均衡的必要条件，即每一参与者的混合战略是另一参与者混合战略的最优反应：一对混合战略（，）要成为纳什均衡，必须满足
1704418193
1704418194
1704418195
1704418196
1704418197
1704418198
对S1中战略所有可能的概率分布P1都成立，并且必须满足
1704418199
1704418200
1704418201
1704418202
1704418203
对S2中战略所有可能的概率分布P2都成立。
1704418204
1704418205
1704418206
定义 在两个参与者标准式博弈G={S1，S2；u1，u2}中，混合战略是纳什均衡的充要条件为：每一参与者的混合战略是另一参与者混合战略的最优反应，即（1.3.4）和（1.3.5）必须同时成立。
1704418207
1704418208
下面我们用这一定义分析猜硬币博弈和性别战博弈，为此，我们运用图1.3.3中介绍的图示法，把参与者i对参与者j混合战略的最优反应在图上表示出来。为完成图1.3.3的内容，还需计算最优的q值，用q*（r）表示，从而使（q，l-q）成为参与者2对参与者1战略（r，1-r）的最优反应。结果如图1.3.4所示，如果r＜1/2，则2的最优反应为背面，于是q*（r）=0；相似地，如果r＞1/2，则2的最优反应是正面，于是q*（r）=1。如果r=1/2，则不仅参与者2出正面和出背面是无差别的，而且对其所有混合战略（q，1-q）也都完全相同，于是q*（1/2）为整个区间[0，1]。
1704418209
1704418210
1704418211
1704418212
1704418213
图1.3.4
1704418214
1704418215
把图1.3.4的纵轴和横轴互换并旋转，我们得到图1.3.5。单纯表示参与者2对参与者1混合战略的最优反应，图1.3.5不如图1.3.4更加直观，但它可与图1.3.3合并成图1.3.6。图1.3.6和第1.2.A节分析古诺模型时的图1.2.1相类似，正如那里的最优反应函数r2（q1）和r1（q2）的交点确定了古诺博弈的纳什均衡，在这里最优反应对应r*（q）和q*（r）的交点给出了猜硬币博弈的混合战略纳什均衡：如果参与者i的战略是（1/2，1/2），则参与者j的最优反应为（1/2，1/2），它满足纳什均衡的要求。
1704418216
1704418217
1704418218
1704418219
1704418220
图1.3.5
1704418221