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图1.3.8
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考虑图1.3.8给出的参与者1的收益情况。x和z，y和w各自的相对大小对博弈的结果十分重要，由此可以分为以下四种主要情况：（i）x＞z且y＞w，（ii）x＜z且y＜w（iii）x＞z且y＜w，（iv）x＜z且y＞w。我们首先讨论这四种主要情况，然后再分析涉及x=z或y=w时的情况。
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图1.3.9
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对参与者1，在情况（i）中，上严格优于下；在情况（ii）中，下严格优于上。根据前面讲过的严格劣战略定义：当且仅当参与者i（对其他参与者所选择的战略）不能作出这样的推断，使选择战略si成为最优反应，则si为严格劣战略。因此，如果（q，1-q）是参与者2的一个混合战略，其中q为2选择左的概率，那么在情况（i）中，没有q能使参与者1选择下成为最优，并且在情况（ii）中，没有q能使1选择上成为最优。令（r，1-r）表示参与者1的一个混合战略，其中r是1选择上的概率，我们可以在图1.3.9中分别表示出情况（i）和情况（ii）下的最优反应对应。（在这两种情况下，最优反应对应事实上也是最优反应函数，因为没有q值使得参与者1有多个最优反应。）
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图1.3.10
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在情况（iii）和情况（iv）中，上和下都不是严格劣战略，那么，必定对某些q值，选择上是最优的，对另一些q值，选择下是最优的。令q’=（w-y）/（x-z+w-y），那么在情况（iii）中，q＞q’时上是最优的，q＜q’时下最优；而在（iv）中则相反。在两种情况下，q=q’时，任何可行的r都是最优的。这两种情况的最优反应对应由图1.3.10给出。
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由于x=z时，q’=1，而y=w时，q’=0，所有包含x=z或：y=w的情况下，最优反应对应将呈“L”状（即单位正方形中相邻的两条边）我们可设想图1.3.10中（iii）或（iv），在q’=0及q’=1时的情况。
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在图1.3.8中分别加入任意的参与者2的收益值，经过与上面类似的计算可得同样的四个最优反应对应，只不过与图1.3.4相同，水平轴代表r值，而纵轴代表q值。做从1.3.4到1.3.5同样的处理，旋转这四个图形的坐标系，可以得到图1.3.11和图1.3.12（在图1.3.12中，对r’的定义与图1.3.10中q’类似）。
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决定性的一点在于，给定参与者1的四种最优反应对应的任何一种，即图1.3.9或图1.3.10中的任何一条r*（q），及参与者2的任何四种之一，即图1.3.11或图1.3.12中的任何一条q*（r），这一组最优反应对应至少有一个交点，于是博弈至少有一个纳什均衡，对16种可能的最优反应对应组合情况进行逐一检验，我们留在习题中进行。这里只定性地给出可以得到的结论。可能出现的情况有：（1）惟一的纯战略纳什均衡，（2）惟一的混合战略纳什均衡，（3）两个纯战略纳什均衡和一个混合战略纳什均衡。前面讲过的图1.3.6的猜硬币博弈是第二种情况的一个例子，图1.3.7的性别战博弈是第三种情况的一个例子。囚徒困境则属于第一种情况，它是由r*（q）的（i）或（ii）和q*（r）的（i）或（ii）结合产生的。[15]
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图1.3.11
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图1.3.12
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本节的最后，我们讨论在更为一般的博弈中纳什均衡的存在性。如果上面关于两人两个纯战略博弈的论证不使用图示的方法，而用数学方法，则可以适用于一般的任意有限战略空间的n人博弈。
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定理 （纳什，1950）：在n个参与者的标准式博弈G={S1，…，Sn；u1，…，un}中，如果n是有限的，且对每个i，Si是有限的，则博弈存在至少一个纳什均衡，均衡可能包含混合战略。
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图1.3.13
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纳什定理的证明要用到不动点定理。作为不动点定理的一个简单例子，假定f（x）是一个定义域和值域都在[0，1]之间的连续函数，则布劳尔（Brouwer）的不动点定理保证了存在至少一个固定的点——即在[0，1]中存在至少一个值x*，使f（x*）=x*。图1.3.13给出了一个例子。
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运用不动点定理证明纳什定理包含两个步骤：（1）证明一个特定对应上的任何不动点都是纳什均衡；（2）使用一个恰当的不动点定理证明这一对应一定有一个不动点。这里所说的对应指n人最优反应对应，所指的“恰当的不动点定理”应归功于角谷（Kakutani，1941），他将布劳尔的定理从函数推广到（符合一定条件的）对应。
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