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图1.3.12
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本节的最后，我们讨论在更为一般的博弈中纳什均衡的存在性。如果上面关于两人两个纯战略博弈的论证不使用图示的方法，而用数学方法，则可以适用于一般的任意有限战略空间的n人博弈。
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定理 （纳什，1950）：在n个参与者的标准式博弈G={S1，…，Sn；u1，…，un}中，如果n是有限的，且对每个i，Si是有限的，则博弈存在至少一个纳什均衡，均衡可能包含混合战略。
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图1.3.13
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纳什定理的证明要用到不动点定理。作为不动点定理的一个简单例子，假定f（x）是一个定义域和值域都在[0，1]之间的连续函数，则布劳尔（Brouwer）的不动点定理保证了存在至少一个固定的点——即在[0，1]中存在至少一个值x*，使f（x*）=x*。图1.3.13给出了一个例子。
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运用不动点定理证明纳什定理包含两个步骤：（1）证明一个特定对应上的任何不动点都是纳什均衡；（2）使用一个恰当的不动点定理证明这一对应一定有一个不动点。这里所说的对应指n人最优反应对应，所指的“恰当的不动点定理”应归功于角谷（Kakutani，1941），他将布劳尔的定理从函数推广到（符合一定条件的）对应。
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n人最优反应对应由n个单个参与人的最优反应对应通过下述计算得出：考虑任意的一个混合战略组合（Ρ1，…，Ρn），对每一个参与者i，求出i针对其他参与者混合战略（Ρ1，…，Ρi-1，Ρi+1，…，Ρn）的最优反应。然后构建每一参与者一个上述最优反应的所有可能组合的集合（正式地说，即导出每一参与者的最优反应对应，然后构建这n个参与者最优反应对应的交叉积（笛卡尔积））。一个混合战略组合是这一对应集中的不动点，如果属于参与者对的最优反应的所有可能组合的集合。即，对每个i，必须是参与者i对的最优反应（之一），这又恰好符合纳什均衡的条件，即是一个纳什均衡。这就完成了第（1）步。
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图1.3.14
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第（2）步的证明要用到每一参与者的最优反应对应都在某种条件下连续这一事实。在布劳尔的不动点定理中连续性的作用可在图1.3.13构建的f（x）看出：如果f（x）是不连续的，不动点就不一定存在。例如在图1.3.14中，对所有x＜x’，f（x）＞x，但对x≤x’，f（x）＜x’。[16]为理解图1.3.14中的f（x）和参与者的最优反应对应的不同之处，考虑图1.3.10中的情况（Ⅲ）：当q=q’时，r*（q）包括了0、1以及中间整个区间（稍微正式一点表述，即r*（q’）包括了当q从左侧靠近q’时，r*（q）的极限，以及q从右侧靠近q’时，r*（q）的极限，并且包括这两个极限之间的所有r值）。如果图1.3.14中f（x’）要成为类似的参与者1的最优反应对应r*（q’）’则f（x’）的值不仅应包含实心点（如图所示），还应包含空心点及整个虚线区间，这时f（x）就会在x’有一个不动点。
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每个参与者的最优反应对应总是如图1.3.10所示的r*（q’）：它总是包括（借用的一般意义上的）从左侧的极限、从右侧的极限以及其间的所有值。其原因在前面讨论两个参与者的情况时已经证明：如果参与者i有n个纯战略都是其他参与者混合战略的最优反应，则参与者i的这些最优纯战略的任意概率的线性组合（并令其他纯战略的概率为0）得到的混合战略Pi，亦是参与者i的最优反应。由于每一参与者的最优反应对应总是具有这一特性，n人最优反应对应亦具有这一特性；这就满足了角谷的假定，于是n人最优反应对应有一个不动点。
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纳什定理保证了相当广泛种类博弈中均衡的存在性，但第1.2节应用举例所分析的博弈却不在此列（因为每一参与者的战略空间都是无限的）。这说明纳什定理中的假定是均衡存在性的充分条件，却不是必要条件——还有许多博弈，虽不满足定理假定的条件，却同样存在一个或多个纳什均衡。
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博弈论基础 1.4 进一步阅读
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关于重复剔除严格劣战略和纳什均衡的假定，及借用参与者的推断来解释混合战略，参见布兰登贝格尔（1992）。关于（古诺型）企业选择产量模型和（贝特兰德型）企业选择价格模型之间的关系，参见克雷普斯和谢克曼（Scheikman，1983），他们证明在某些条件下，企业面临生产能力的约束时（企业在选择价格之前，要付出一定成本选择生产能力），贝特兰德型模型会出现古诺模型的结果。关于仲裁，参见吉本斯（Gibbons，1988），他说明了在最后要价仲裁及协议仲裁中，仲裁者所偏好的方案如何依赖于各方的要价中所包含的信息。最后，关于纳什均衡的存在性，包括纯战略在战略空间中连续的博弈，请参考达斯古普塔和马斯金（Dasgupta&Maskin，1986）。
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博弈论基础 [:1704417389]
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博弈论基础 1.5 习题与练习