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图1.3.14
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第（2）步的证明要用到每一参与者的最优反应对应都在某种条件下连续这一事实。在布劳尔的不动点定理中连续性的作用可在图1.3.13构建的f（x）看出：如果f（x）是不连续的，不动点就不一定存在。例如在图1.3.14中，对所有x＜x’，f（x）＞x，但对x≤x’，f（x）＜x’。[16]为理解图1.3.14中的f（x）和参与者的最优反应对应的不同之处，考虑图1.3.10中的情况（Ⅲ）：当q=q’时，r*（q）包括了0、1以及中间整个区间（稍微正式一点表述，即r*（q’）包括了当q从左侧靠近q’时，r*（q）的极限，以及q从右侧靠近q’时，r*（q）的极限，并且包括这两个极限之间的所有r值）。如果图1.3.14中f（x’）要成为类似的参与者1的最优反应对应r*（q’）’则f（x’）的值不仅应包含实心点（如图所示），还应包含空心点及整个虚线区间，这时f（x）就会在x’有一个不动点。
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每个参与者的最优反应对应总是如图1.3.10所示的r*（q’）：它总是包括（借用的一般意义上的）从左侧的极限、从右侧的极限以及其间的所有值。其原因在前面讨论两个参与者的情况时已经证明：如果参与者i有n个纯战略都是其他参与者混合战略的最优反应，则参与者i的这些最优纯战略的任意概率的线性组合（并令其他纯战略的概率为0）得到的混合战略Pi，亦是参与者i的最优反应。由于每一参与者的最优反应对应总是具有这一特性，n人最优反应对应亦具有这一特性；这就满足了角谷的假定，于是n人最优反应对应有一个不动点。
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纳什定理保证了相当广泛种类博弈中均衡的存在性，但第1.2节应用举例所分析的博弈却不在此列（因为每一参与者的战略空间都是无限的）。这说明纳什定理中的假定是均衡存在性的充分条件，却不是必要条件——还有许多博弈，虽不满足定理假定的条件，却同样存在一个或多个纳什均衡。
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博弈论基础 [:1704417388]
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博弈论基础 1.4 进一步阅读
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关于重复剔除严格劣战略和纳什均衡的假定，及借用参与者的推断来解释混合战略，参见布兰登贝格尔（1992）。关于（古诺型）企业选择产量模型和（贝特兰德型）企业选择价格模型之间的关系，参见克雷普斯和谢克曼（Scheikman，1983），他们证明在某些条件下，企业面临生产能力的约束时（企业在选择价格之前，要付出一定成本选择生产能力），贝特兰德型模型会出现古诺模型的结果。关于仲裁，参见吉本斯（Gibbons，1988），他说明了在最后要价仲裁及协议仲裁中，仲裁者所偏好的方案如何依赖于各方的要价中所包含的信息。最后，关于纳什均衡的存在性，包括纯战略在战略空间中连续的博弈，请参考达斯古普塔和马斯金（Dasgupta&Maskin，1986）。
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博弈论基础 [:1704417389]
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博弈论基础 1.5 习题与练习
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博弈论基础 [:1704417390]
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第1.1节
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1.1 什么是博弈的标准式？在博弈的标准式中，什么是严格劣战略？什么是一个纯战略纳什均衡？
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1.2 在以下博弈的标准式中，哪些战略不会被重复剔除严格劣战略所剔除？纯战略纳什均衡又是什么？
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1.3 两个人就如何分配一元钱进行谈判，双方同时提出各自希望得到的份额，分别为s1和s2，且0≤s1，s2≤1。若s1+s2≤1，则二人分别得到他们所要的一份；如果s1+s2＞1，则两个人均一无所获。求出此博弈的纯战略纳什均衡。
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博弈论基础 [:1704417391]
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第1.2节
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1.4 假定古诺的寡头垄断模型中有n个企业，令qi代表企业i的产量，且Q=q1+…+qn表示市场总产量，p表示市场出清价格，并假设反需求函数由p（Q）=a-Q给出（设Q＜a，其他情况下p=0）。并设企业i生产出qi的总成本Ci（qi）=cqi，即没有固定成本，且边际成本为常数c，这里我们设c＜a。根据古诺的假定，企业同时就产量进行决策。求出博弈的纳什均衡。当n趋于无穷时，将会发生什么情况？
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1.5 考虑以下两个古诺双头垄断模型的战略空间有限的情况。第一，假定每个企业必须选择要么生产垄断产出的一半qm/2=（a-c）/4，要么生产古诺均衡产量qc=（a-c）/3，任何其他产量都是不允许的。证明这一非此即彼的博弈是一个囚徒困境式的问题：每一个企业都有一个严格劣战略，并且在均衡状态下，每一企业的福利都要比他们相互合作时下降。第二，假设每个企业可以选择qm/2或qc或第三种产量q’，求出一个q’的值，使得这一博弈在以下方面等价于第1.2.A节中的古诺模型，即（qc，qc）是惟一的纳什均衡，并且在均衡状态下，每一企业的福利都比他们相互合作时要低，但两个企业都没有严格劣战略。
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1.6 考虑在古诺双头垄断模型中，反需求函数为p（Q）=a-Q，但两企业有不同的边际成本，企业1为c1，企业2为c2，求出当每个企业0＜c1＜a/2时的纳什均衡。如果c1＜c2＜a但2c2＞a+c1，纳什均衡又有什么变化？
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1.7 在第1.2.B中，我们分析了产品有差异的贝特兰德双头垄断模型。同质产品的情况下结论是十分明显的。假设时，消费者对企业i产品的需求为a-pi，pi＞pj时为0，pi=pj时为（a-pi）/2。同时假设不存在固定成本，且边际成本为常数c，这里c＜a。证明如果企业同时选择价格，则惟一的纳什均衡就是每个企业的定价均为c。
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1.8 设有一批选民在一个单位区间从左（x=0）至右（x=1）均匀分布，为一个职位参加竞选的每个候选人同时选择其竞选基地（即在x=0到x=1中间的一个点）。选民观察候选人的选择，然后每一投票人把票投给其基地离自己最近的候选人。比如，如果有两个候选人，他们分别在x1=0.3和x2=0.6选择基地，则处于x=0.45左边的所有选民都会把票投给候选人1，右边的人都会把票投给候选人2，这样候选人2就可以得到55%的选票赢得这场选举。假设候选人只关心他能否当选——他们根本上一点都不关心其基地！如果有两个候选人，博弈的纯战略纳什均衡是什么？如果有三个候选人，求出一个纳什均衡。（假设选择同一个基地的候选人将平分这一基地可得的选票，得票最高的候选人不止一人时，谁当选由掷硬币来决定。）参见霍特林（Hotelling，1929）关于此类博弈的早期模型。
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博弈论基础 [:1704417392]
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第1.3节