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由于参与人1可以和参与人2同样地解出参与人2在第二阶段的决策问题，参与人1也就知道参与人2通过拒绝参与人1的条件，在第二阶段可以得到，但下一阶段得到的在本阶段的价值只有。那么，当且仅当或时，参与人2才会接受1-s1。从而参与人1在第一阶段的决策问题就可归于在本阶段收入（通过向参与人2提出条件）和下阶段收入（通过向参与人2提出出任意的）之间作出选择。后一选择的贴现值为，小于前一选择可得的，于是参与人1在第一阶段提出的最优条件是。这样，在此三阶段博弈的逆向归纳解中，参与人1向参与人2提出分配方案，后者接受该方案。
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现在考虑无限期的情况。博弈时序和前面的描述完全一致，只是第（3）阶段给出的外生解决方案被其后的无限步讨价还价（3a）、（3b）、（4a）、（4b）等等所代替：奇数步由参与人1出条件，偶数步由参与人2出条件，直至一方接受条件，讨价还价结束。和前面分析过的所有应用一样，我们希望能够从后向前推出这一无限步博弈的逆向归纳解。但是，由于博弈可能会无限地进行下去，因此并不存在我们借以入手分析的最后一步行动。幸而下面的发现（首先由谢克德和萨顿（Shaked&Sutton，1984）所运用），使我们可以把无限博弈截开，并应用对有限博弈分析的逻辑进行分析：从第三阶段开始的博弈（如果能进行到这一阶段）与（从第一阶段开始的）整个过程的博弈是相同的——两种情况下，都是由参与人1首先提出条件，其后两个参与人轮流出价，直至有一方接受条件谈判结束。
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由于尚未正式定义此类无限博弈的逆向归纳解，我们的讨论也将是非正式的（但也可以进行正式讨论）。假设完整过程的博弈存在逆向归纳解，此时参与人1和2分别得到s和1-s。我们可以把这个结果用于从第三阶段开始的博弈，如果博弈进行到第三阶段的话，然后逆向推至第一阶段（过程与三阶段博弈中相同），可计算出整个博弈的新的逆向归纳解。在这一新的逆向归纳解中，参与人1将在第一阶段提出解决方案（f（s），l-f（s）），参与人2会接受这一方案。这里的f（s）=1-δ（1-δ·s），就是上面讨论过的，在第三阶段解决方案（s，1-s）外生给定条件下，参与人1第一阶段得到的份额。
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令sH为参与人1在全过程博弈中可能得到的逆向归纳解下的最高收益。设想sH为参与人1第三阶段的收益，则如前所述，这将产生一个新的逆向归纳解，其中参与人1第一阶段的收益为f（sH）。由于f（s）=l-δ+δ2s是s的增函数，sH是第三阶段可能达到的最高收益，f（sH）也就是第一阶段可能达到的最高收益。但同时sH又是第一阶段可能达到的最高收益，于是有f（sH）=sH。相似的论证可证明f（sL）=sL，这里的sL为参与人1在全过程博弈中可能得到的逆向归纳解下的最低收益。满足f（s）=s的惟一的s值为1/（1+δ），我们用S*表示。那么sH=sL=s*，于是整个过程博弈有惟一的逆向归纳解：在第一阶段，参与人1向参与人2提出分配方案（s*=1/（1+δ），l-s*=δ/（l+δ）），后者接受该方案。
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博弈论基础 [:1704417400]
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博弈论基础 2.2 完全非完美信息两阶段博弈
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博弈论基础 [:1704417401]
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2.2.A 理论：子博弈精炼
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现在我们对前一节所讨论的博弈类型加以丰富。和在完全且完美信息动态博弈中相同，我们继续假定博弈的进行分为一系列的阶段，下一阶段开始前参与者可观察到前面所有阶段的行动。与上节分析的不同之处在于，本节我们每一阶段中存在着同时行动。在第2.4节更进一步的分析中我们将看到，这种阶段内的同时行动意味着本节分析的博弈包含了不完美信息。然而，此类博弈和前一节所讨论的博弈又有着很多共同特性。
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我们将分析以下类型的简单博弈，并（多么缺乏创意地）称其为完全非完美信息两阶段博弈：
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1.参与者1和2同时从各自的可行集A1和A2中选择行动a1和a2，
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2.参与者3和4观察到第一阶段的结果，（a1，a2），然后同时从各自的可行集A3和A4中选择行动a3和a4，
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3.收益为ui（a1，a2，a3，a4），i=l，2，3，4。
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许多经济学问题都符合以上的特点，[8]其中三个例子（后面进行详细讨论）包括对银行的挤提、关税和国际市场的不完全竞争以及工作竞赛（如一个企业中，几个副总裁为下一任总裁而竞争）。还有很多经济问题可通过把以上条件稍加改动而建立模型，比如增加参与者人数或者允许同一参与者（在一个以上的阶段）多次选择行动。也可以允许少于四个的参与者：在一些应用中，参与者3和4就是参与者1和2；还有的则不存在参与者2或参与者4。
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我们解决此类问题使用的方法，仍沿用了逆向归纳的思路，但这里从博弈的最后阶段逆向推导的第一步就包含了求解一个真正的博弈（给定第一阶段结果时，参与者3和4在第二阶段同时行动的博弈），而不再是前一节求解单人最优化的决策问题。为使问题简化，本节中我们假设对第一阶段博弈每一个可能结果（a1，a2），其后（参与者3和4之间的）第二阶段博弈有惟一的纳什均衡，表示为。在第2.3.A节（关于重复博弈）我们考虑放松这一假定时的应用。
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如果参与人1和2预测到参与人3和4在第二阶段的行动将由给出，则参与人1和2在第一阶段的问题就可用以下的同时行动博弈表示：
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1.参与人1和2同时从各自的可行集A1和A2中选择行动a1和a2；
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2.收益情况为，i=l，2；
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假定为以上同时行动博弈惟一的纳什均衡，我们称为这一两阶段博弈的子博弈精炼解。此解与完全且完美博弈中的逆向归纳解在性质上是一致的，并且与后者有着类似的优点和不足。如果参与者3和4威胁在后面的第二阶段博弈中，他们将不选择纳什均衡下的行动，参与人1和2是不会相信的，因为当博弈确实进行到第二阶段时，参与人3和4中至少有一个人不愿把威胁变为现实（恰好是因为它不是第二阶段博弈的纳什均衡）。另一方面，假设参与者1就是参与者3，并且参与者1在第一阶段并不选择a1*，参与者4就会重新考虑参与者3（即参与者1）在第二阶段将会选择a3*（a1，a2）的假定。
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