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也就是说，工人i选择努力程度ei，从而使得额外努力的边际负效用g’（ei），等于增加努力的边际收益，后者又等于对优胜者的奖励工资切wH-wL，乘以因努力程度提高而使获胜概率的增加。
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根据贝叶斯法则[12]
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于是，一阶条件（2.2.5）可化为
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在对称的纳什均衡（即），我们有
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由于g（e）是凸函数，优胜获得的奖励越高（即wH-wL的值越大），就会激发更大的努力，这和我们的直觉是一致的。另一方面，在同样的奖励水平下，对产出的随机扰动因素越大，越不值得努力工作，因为这时工作竞赛的最终结果在很大程度上是决定于运气，而非努力程度。例如，当ε服从方差为σ2的正态分布时，则有
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它随σ的增加而下降，也就是说e*的确随σ的增加而降低。
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下面我们从后往前分析博弈的第一阶段。假定工人们同意参加工作竞赛（而不是去另谋高就），他们对给定的wH和wL的反应，将会是（2.2.6）描述的对称的纳什均衡战略。（从而我们忽略掉存在不对称均衡的可能性，以及工人的努力程度由角解e1=e2=0而不是由一阶条件（2.2.5）给出的可能性）同时假定工人可寻求其他就业机会，得到的效用为Ua。因为在对称的纳什均衡中每个工人在竞赛中获得优胜的概率为1/2（即）Prob{yi（e*）＞yi（e*）}=1/2），如果老板要使工人有动力参加工作竞赛，则他必须选择满足下式的工资水平
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假设Ua足够低，以致于老板愿意激励工人参加竞赛，则他会在（2.2.7）的约束条件下，选择使自己期望收益2e*-wH-wL最大的工资水平。由于在最优条件下，（2.2.7）中的等号成立：
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wL=2Ua+2g（e*）-wH. （2.2.8）
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则期望利润就成为2e*-2Ua-2g（e*），于是老板要考虑的问题就是使e*-g（e*）最大化，这时他选择的工资水平应使得与之相应的e*满足这一条件。从而最优选择下的努力程度满足一阶条件g’（e*）=1，将其代入（2.2.6）则意味着最优激励wH-wL满足
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和（2.2.8）一起，可解得wH和wL的值。
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博弈论基础 [:1704417405]
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博弈论基础 2.3 重复博弈
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本节我们分析在参与者之间长期重复的相互往来中，关于将来行动的威胁或承诺能否影响到当前的行动。大部分直观的结论是由两阶段的例子给出的，也有一些观点需要讨论无限次的情况。同时，我们还将定义重复博弈中子博弈精炼纳什均衡的概念，这一定义在重复博弈的条件下表述较容易理解，而在第2.4.B节分析一般的完全信息动态博弈中则要复杂一些。我们在本节先作一简要介绍，以方便后面的展开。
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