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它随σ的增加而下降，也就是说e*的确随σ的增加而降低。
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下面我们从后往前分析博弈的第一阶段。假定工人们同意参加工作竞赛（而不是去另谋高就），他们对给定的wH和wL的反应，将会是（2.2.6）描述的对称的纳什均衡战略。（从而我们忽略掉存在不对称均衡的可能性，以及工人的努力程度由角解e1=e2=0而不是由一阶条件（2.2.5）给出的可能性）同时假定工人可寻求其他就业机会，得到的效用为Ua。因为在对称的纳什均衡中每个工人在竞赛中获得优胜的概率为1/2（即）Prob{yi（e*）＞yi（e*）}=1/2），如果老板要使工人有动力参加工作竞赛，则他必须选择满足下式的工资水平
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假设Ua足够低，以致于老板愿意激励工人参加竞赛，则他会在（2.2.7）的约束条件下，选择使自己期望收益2e*-wH-wL最大的工资水平。由于在最优条件下，（2.2.7）中的等号成立：
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wL=2Ua+2g（e*）-wH. （2.2.8）
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则期望利润就成为2e*-2Ua-2g（e*），于是老板要考虑的问题就是使e*-g（e*）最大化，这时他选择的工资水平应使得与之相应的e*满足这一条件。从而最优选择下的努力程度满足一阶条件g’（e*）=1，将其代入（2.2.6）则意味着最优激励wH-wL满足
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和（2.2.8）一起，可解得wH和wL的值。
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博弈论基础 [:1704417405]
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博弈论基础 2.3 重复博弈
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本节我们分析在参与者之间长期重复的相互往来中，关于将来行动的威胁或承诺能否影响到当前的行动。大部分直观的结论是由两阶段的例子给出的，也有一些观点需要讨论无限次的情况。同时，我们还将定义重复博弈中子博弈精炼纳什均衡的概念，这一定义在重复博弈的条件下表述较容易理解，而在第2.4.B节分析一般的完全信息动态博弈中则要复杂一些。我们在本节先作一简要介绍，以方便后面的展开。
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博弈论基础 [:1704417406]
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2.3.A 理论：两阶段重复博弈
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考虑图2.3.1给出的囚徒困境的标准式，假设两个参与者要把这样一个同时行动博弈重复进行两次，且在第二次博弈开始之前可观测第一次进行的结果，并假设整个过程博弈的收益等于两阶段各自收益的简单相加（即不考虑贴现因素），我们称这一重复进行的博弈为两阶段囚徒困境。它属于第2.2.A节分析过的博弈类型，这里参与者3、4与参与者1、2是相同的，行动空间A3和A4也与A1、A2相同，并且总收益Ui（a1，a2，a3，a4）等于第一阶段结果（a1，a2）的收益与第二阶段结果（a3，a4）的收益简单相加。而且，两阶段囚徒困境满足我们在第2.2.A节所作的假定：对每一个第一阶段的可行结果（a1，a2），其余部分在参与者3和4之间进行的博弈都存在惟一的纳什均衡，表示为（a3*（a1，a2），a4*（a1，a2））。事实上，两阶段囚徒困境满足比上述假定更为严格的条件：在第2.2.A节中，我们允许其余第二阶段博弈的纳什均衡依赖于第一阶段的结果——从而我们表示为（a3*（a1，a2），a4*（a1，a2）），而不是简单的（a3*，a4*）（例如在关税博弈中，第二阶段企业选择的均衡产量决定于政府在第一阶段所选择的关税），但在两阶段囚徒困境中，第二阶段博弈惟一的纳什均衡就是（L1，L2），不管第一阶段的结果如何。
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图2.3.1
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图2.3.2
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根据在第2.2.A节讲过的求解此类博弈子博弈精炼解的程序，第二阶段博弈的结果为该阶段所余部分博弈的纳什均衡，在本例中，即为（L1，L2），两人收益为（1，1），我们在此前提下分析两阶段囚徒困境第一阶段的情况。由此，两阶段囚徒困境中，参与者在第一阶段的局势就可归纳为图2.3.2所示的一次性博弈，其中，第二阶段的均衡收益（1，1）分别被加到两人第一阶段每一收益组合之上。图2.3.2所示的博弈同样有惟一的纳什均衡：（L1，L2）。从而，两阶段囚徒困境惟一的子博弈精炼解就是第一阶段的（L1，L2）和随后第二阶段的（L1，L2）。在子博弈精炼解中，任一阶段都不能达成相互合作——（R1，R2）的结果。
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这一结论在更为一般的条件下同样成立（这里我们暂时离开两阶段的例子，允许任何有限的T次重复）。令G={A1，…，An；u1，…，un}表示一个完全信息博弈，其中参与者1到n同时从各自的行动空间A1到A4中分别选择行动a1到an，得到的收益分别为u1（a1，…，an），…un（a1，…，an），此后我们称博弈G为重复博弈中的阶段博弈。
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定义 对给定的阶段博弈G，令G（T）表示G重复进行T次的有限重复博弈，并且在下一次博弈开始前，所有以前博弈的进行都可被观测到。G（T）的收益为T次阶段博弈收益的简单相加。