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假设Ua足够低,以致于老板愿意激励工人参加竞赛,则他会在(2.2.7)的约束条件下,选择使自己期望收益2e*-wH-wL最大的工资水平。由于在最优条件下,(2.2.7)中的等号成立:
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wL=2Ua+2g(e*)-wH. (2.2.8)
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则期望利润就成为2e*-2Ua-2g(e*),于是老板要考虑的问题就是使e*-g(e*)最大化,这时他选择的工资水平应使得与之相应的e*满足这一条件。从而最优选择下的努力程度满足一阶条件g’(e*)=1,将其代入(2.2.6)则意味着最优激励wH-wL满足
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和(2.2.8)一起,可解得wH和wL的值。
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博弈论基础 2.3 重复博弈
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本节我们分析在参与者之间长期重复的相互往来中,关于将来行动的威胁或承诺能否影响到当前的行动。大部分直观的结论是由两阶段的例子给出的,也有一些观点需要讨论无限次的情况。同时,我们还将定义重复博弈中子博弈精炼纳什均衡的概念,这一定义在重复博弈的条件下表述较容易理解,而在第2.4.B节分析一般的完全信息动态博弈中则要复杂一些。我们在本节先作一简要介绍,以方便后面的展开。
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2.3.A 理论:两阶段重复博弈
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考虑图2.3.1给出的囚徒困境的标准式,假设两个参与者要把这样一个同时行动博弈重复进行两次,且在第二次博弈开始之前可观测第一次进行的结果,并假设整个过程博弈的收益等于两阶段各自收益的简单相加(即不考虑贴现因素),我们称这一重复进行的博弈为两阶段囚徒困境。它属于第2.2.A节分析过的博弈类型,这里参与者3、4与参与者1、2是相同的,行动空间A3和A4也与A1、A2相同,并且总收益Ui(a1,a2,a3,a4)等于第一阶段结果(a1,a2)的收益与第二阶段结果(a3,a4)的收益简单相加。而且,两阶段囚徒困境满足我们在第2.2.A节所作的假定:对每一个第一阶段的可行结果(a1,a2),其余部分在参与者3和4之间进行的博弈都存在惟一的纳什均衡,表示为(a3*(a1,a2),a4*(a1,a2))。事实上,两阶段囚徒困境满足比上述假定更为严格的条件:在第2.2.A节中,我们允许其余第二阶段博弈的纳什均衡依赖于第一阶段的结果——从而我们表示为(a3*(a1,a2),a4*(a1,a2)),而不是简单的(a3*,a4*)(例如在关税博弈中,第二阶段企业选择的均衡产量决定于政府在第一阶段所选择的关税),但在两阶段囚徒困境中,第二阶段博弈惟一的纳什均衡就是(L1,L2),不管第一阶段的结果如何。
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图2.3.1
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图2.3.2
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根据在第2.2.A节讲过的求解此类博弈子博弈精炼解的程序,第二阶段博弈的结果为该阶段所余部分博弈的纳什均衡,在本例中,即为(L1,L2),两人收益为(1,1),我们在此前提下分析两阶段囚徒困境第一阶段的情况。由此,两阶段囚徒困境中,参与者在第一阶段的局势就可归纳为图2.3.2所示的一次性博弈,其中,第二阶段的均衡收益(1,1)分别被加到两人第一阶段每一收益组合之上。图2.3.2所示的博弈同样有惟一的纳什均衡:(L1,L2)。从而,两阶段囚徒困境惟一的子博弈精炼解就是第一阶段的(L1,L2)和随后第二阶段的(L1,L2)。在子博弈精炼解中,任一阶段都不能达成相互合作——(R1,R2)的结果。
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这一结论在更为一般的条件下同样成立(这里我们暂时离开两阶段的例子,允许任何有限的T次重复)。令G={A1,…,An;u1,…,un}表示一个完全信息博弈,其中参与者1到n同时从各自的行动空间A1到A4中分别选择行动a1到an,得到的收益分别为u1(a1,…,an),…un(a1,…,an),此后我们称博弈G为重复博弈中的阶段博弈。
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定义 对给定的阶段博弈G,令G(T)表示G重复进行T次的有限重复博弈,并且在下一次博弈开始前,所有以前博弈的进行都可被观测到。G(T)的收益为T次阶段博弈收益的简单相加。
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定理 如果阶段博弈G有惟一的纳什均衡,则对任意有限的T,重复博弈G(T)有惟一的子博弈精炼解:即G的纳什均衡结果在每一阶段重复进行。[13]
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图2.3.3
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现在,我们回到两阶段博弈,进一步考虑阶段博弈G有多个纳什均衡的情况,如图2.3.3所示。战略Li和Mi与图2.3.1所示的囚徒困境完全相同,只不过增加了战略Ri使博弈有了两个纯战略纳什均衡:其一是囚徒困境中的(L1,L2),另外还有(R1,R2)这个例子中凭空给囚徒的困境增加了一个均衡解当然是很主观的,但在此博弈中我们的兴趣主要在理论上,而非其经济学意义。在下一节我们将看到,即使重复进行的阶段博弈像囚徒的困境一样有惟一的纳什均衡,但当重复博弈无限次进行下去时,仍表现出这里所分析的多均衡特征。从而,本节我们在最简单的两阶段情况下分析一个抽象的阶段博弈,以后再分析由有经济学意义的阶段博弈构成的无限重复博弈也就十分容易了。
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设图2.3.3表示的阶段博弈重复进行两次,并在第二阶段开始前可以观测到第一阶段的结果,我们可以证明在这一重复博弈中存在一个子博弈精炼解,其中第一阶段的战略组合为(M1,M2)[14]。和第2.2.A节相同,假定在第一阶段参与者预测第二阶段的结果将会是下一阶段博弈的一个纳什均衡,由于这里阶段博弈有不止一个纳什均衡,因而参与者可能会预测根据第一阶段的不同结果,在第二阶段的博弈中将会出现不同的纳什均衡。例如,设参与者预测如果第一阶段的结果是(M1,M2),第二阶段的结果将会是(R1,R2),而如果第一阶段中其他8个结果的任何一个出现,第二阶段的结果就将会是(L1,L2),那么参与者在第一阶段所面临的局势就可归为图2.3.4所示的一次性博弈,其中在(M1,M2)单元加上了(3,3),在其余8个单元各加上(1,1)。
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