1704419132
1704419133
1704419134
1704419135
1704419136
其解为qj=（a-q*-c）/2，相应的利润为（a-q*-c）2/4，我们仍用πd表示。当下式成立时，两个企业都采取上面给出的触发战略为纳什均衡
1704419137
1704419138
1704419139
1704419140
1704419141
解由此式形成的关于q*的二次方程，可得令上面给出的触发战略成为子博弈精炼纳什均衡的q*
1704419142
1704419143
1704419144
1704419145
1704419146
它随δ单调递减，且当δ达到9/17时，达到qm/2，当δ达到0时达到qc。
1704419147
1704419148
下面我们试着使用第二种方法，它的出发点是威胁使用最严厉的可信的惩罚。阿布勒（1986）将这一思路运用于古诺模型中，比我们使用一个任意的贴现因子更具有一般性；这里只简单证明在我们的模型中，如果用阿布勒的方法，在δ=1/2（小于q/17）时，也可以达到垄断产量。考虑下面的“两面”（two-phase）（亦称胡萝卜加大棒（carrot-and-stick））战略：
1704419149
1704419150
在第一阶段生产垄断产量的一半，qm/2。第t阶段，如果两个企业在第t-1阶段都生产qm/2、则生产qm/2；如果两个企业在t-1阶段的产量都是x，则生产qm/2；其他情况下生产x。
1704419151
1704419152
这一战略为参与者提供了两种手段：其一是（单阶段的）惩罚，这时企业生产x；其二是（潜在无限阶段的）合作，这时企业的产量为qm/2。如果任何一个企业偏离了合作，则惩罚开始，如果任何一个企业背离了惩罚，则会使博弈进入又一轮惩罚。如果两个企业都不背离惩罚，则在下一阶段又回到合作。
1704419153
1704419154
如果两企业都生产x，每个企业的利润为（a-2x-c）x，我们用π（x）表示。令V（x）表示当期的利润为π（x），以后每阶段的利润永远是垄断利润的一半，企业总收益的现值：
1704419155
1704419156
1704419157
1704419158
1704419159
如果企业i计划在当期生产x，则使企业j利润最大化的产出为下式的解
1704419160
1704419161
1704419162
1704419163
1704419164
其解为qj=（a-x-c）/2，相应的利润为（a-x-c）2/4，我们用πdp（x）表示，其中dp的含义是对惩罚的背离。
1704419165
1704419166
如果两家企业都采用上面的两面战略，则无限重复博弈里的子博弈就可归为两类：（i）合作的子博弈，其前面一个阶段的结果是（qm/2，qm/2）或（x，x）；（ii）惩罚的子博弈，其前面一个阶段的结果既非（qm/2，qm/2），又不是（x，x）。两企业都采取上面的两面战略要成为一个子博弈精炼纳什均衡，则在其每一类子博弈中遵循该战略必须是纳什均衡。具体地说，在合作的子博弈中，每一企业与本期得到πd的收益，且下期得到惩罚的现值收益V（x）相比，必须更愿意永远得到垄断收益的一半：
1704419167
1704419168
1704419169
1704419170
1704419171
在惩罚的子博弈中，每一企业与本期得到πdp的收益，且下期又开始惩罚相比，企业更愿意共同执行惩罚产量：
1704419172
1704419173
V（x）≥πdp（x）+δV（x）. （2.3.4）
1704419174
1704419175
将V（x）代入（2.3.3）可得
1704419176
1704419177
1704419178
1704419179
1704419180
它表示，在本期背离所得的好处必须不大于下一期惩罚带来损失的现值（假设两个企业都不背离惩罚期，则下一阶段之后就没有损失了，因为惩罚已经结束，企业又回到垄断产出，就像根本没发生过背离一样）。同样，（2.3.4）又可写成
1704419181