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如果企业i计划在当期生产x，则使企业j利润最大化的产出为下式的解
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其解为qj=（a-x-c）/2，相应的利润为（a-x-c）2/4，我们用πdp（x）表示，其中dp的含义是对惩罚的背离。
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如果两家企业都采用上面的两面战略，则无限重复博弈里的子博弈就可归为两类：（i）合作的子博弈，其前面一个阶段的结果是（qm/2，qm/2）或（x，x）；（ii）惩罚的子博弈，其前面一个阶段的结果既非（qm/2，qm/2），又不是（x，x）。两企业都采取上面的两面战略要成为一个子博弈精炼纳什均衡，则在其每一类子博弈中遵循该战略必须是纳什均衡。具体地说，在合作的子博弈中，每一企业与本期得到πd的收益，且下期得到惩罚的现值收益V（x）相比，必须更愿意永远得到垄断收益的一半：
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在惩罚的子博弈中，每一企业与本期得到πdp的收益，且下期又开始惩罚相比，企业更愿意共同执行惩罚产量：
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V（x）≥πdp（x）+δV（x）. （2.3.4）
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将V（x）代入（2.3.3）可得
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它表示，在本期背离所得的好处必须不大于下一期惩罚带来损失的现值（假设两个企业都不背离惩罚期，则下一阶段之后就没有损失了，因为惩罚已经结束，企业又回到垄断产出，就像根本没发生过背离一样）。同样，（2.3.4）又可写成
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其含义与上面是相似的。对δ=1/2，如果x/（a-c）不在1/8到3/8之间，（2.3.3）式即可满足，并且如果x/（a-c）处于3/10到1/2之间，（2.3.4）式亦可满足。从而，对δ=1/2可达到垄断产出的两面战略成为子博弈精炼纳什均衡的条件是3/8≤x/（a-c）≤l/2。
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此外，还有许多其他的动态寡头垄断模型，内容比这里介绍的简单模型更加深入和丰富。在本节最后，我们简要讨论这些模型中的两类：状态变量（state-variable）模型和不完美监督（imperfect-monitoring）模型。两类模型除寡头垄断之外还有许多应用，例如，下一节介绍的效率工资模型便是不完美监督的一个例子。
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罗滕贝格和萨隆纳（Rotemberg&Saloner，1986及习题2.14）通过允许需求函数的截距在不同阶段随机波动，研究了存在商业周期时的串谋。在每一阶段，所有企业在选择该阶段的行动之前都可观测到那一阶段需求函数的截距；在另外的应用中，参与者在每一阶段的开始可以观测到另一个状态变量的值。这种情况下，背离一个给定战略的动机不仅依赖于当期的需求值，还决定于将来阶段可能的需求。（罗滕贝格和萨隆纳假定需求在各阶段是独立的，这样对后面的考虑与当期的需求值也是独立的，但其后的研究放松了这一假定。）
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格林和波特（Green&Porter，1984）研究了在背离无法完美地被观测时的共谋：企业不再能观测到另外企业的产出选择，每个企业只能观测到市场出清价格，而这一价格在每一阶段又会受到无法观测的因素的冲击。在这样的条件下，企业无法分辨市场出清价格的降低是由于另外企业背离形成的，还是其他不利因素的冲击带来的。格林和波特检验了触发价格均衡，其中，任何低于触发水平的价格都会引发一个惩罚阶段，在惩罚阶段所有企业都选择古诺产出。在均衡条件下，没有企业会背离。然而，市场因素一次严重的不利冲击也会使价格降至触发点之下，从而引发一个惩罚阶段，由于惩罚是由偶然因素引发的，本节所分析的触发战略里惩罚将无限地持续下去的做法就不再是最优的，而由阿布勒分析的两面战略更为合理，事实上，阿布勒、皮尔斯和斯泰切提（Pearce&Stacchetti，1986）证明了它们可以成为最优选择。
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博弈论基础 [:1704417409]
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2.3.D 效率工资
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在效率工资的模型中，一个企业劳动力的产出决定于企业支付的工资水平。在发展中国家的环境中，更高的工资收入可提供更好的营养；在发达国家，更高的工资收入可吸引更多有能力的工人到企业求职，或者可以激励现有工人更加努力工作。
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夏皮罗和施蒂格里茨（1984）就此建立了一个动态模型，其中企业为激励工人努力工作，一方面支付很高的薪水；同时又威胁一旦被发现偷懒，立即开除。作为这种高薪的一个后果，企业减少了对劳动力的需求，造成部分工人的高薪就业，但其他工人（非自愿）失业并存。失业工人的人数越多，一个被解雇的工人寻找新的工作岗位所需时间越长，于是解雇的威胁就更加有效。在竞争均衡条件下，工资水平w和失业率u恰好可以使工人不去偷懒，并且企业在工资水平w时的劳动需求恰好使失业率等于u。我们分析一个企业和一个工人的情况，从重复博弈的角度研究这一模型（而不考虑其竞争均衡的特点）。
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考虑如下的阶段博弈：第一，企业对工人开出一个工资水平w；第二，工人接受或拒绝企业的开价。如果工人拒绝了w，则工人成为自我雇佣者，工资水平为w0，如果工人接受了w，则工人选择是努力工作（会带来e的负效用）还是偷懒（不会带来任何负效用）。工人对努力程度的决策企业无法观测，但企业和工人都可观测到工人的产出水平。产出可能高也可能低，为简单起见，我们认为低水平的产出为0，高水平的产出为y＞0。假设如果工人努力工作则肯定可以得到高产出，但如果工人偷懒则以p的概率得到高产出，1-p的概率得到低产出。从而，在此模型中，低产出是偷懒无可辩驳的证据。
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假设企业以w的工资雇佣了工人，那么如果工人努力工作，带来高产出时参与人的收益分别为：企业y-w，工人w-e。如果工人偷懒，则e变为0；如果出现低产出，则y变为0。我们假定y-e＞w0＞py，从而对工人来讲，受雇于企业并且努力工作是有效率的，工人自我雇佣要优于受雇于企业并偷懒。
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这一阶段博弈的子博弈精炼解是使人失望的：因为企业先付给工人工资w，工人没有动机去努力工作，于是企业将开出w=0（或任何其他的w≤w0）且工人选择自我雇佣。不过，在无限重复博弈中，企业通过给工人高于w0的工资水平w、并且威胁一旦低产出出现，就将工人开除，是可以激励工人努力工作的。下面我们证明在某些取值范围内，企业给出较高的工资并借此激励工人努力工作是值得的。
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