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由于雇主们预测到货币当局将选择π*（πe），雇主的问题就是选择πe，使-[π*（πe）-πe]2最大化，得到π*（πe）=πe或
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其中π的脚标s代表了“阶段博弈”（stage game）。由此，我们可以等价地说，雇主持有的理性期望值为将在随后被货币当局所确认证实的通货膨胀水平，因为π*（πe）=πe，从而又有πe=πs。当雇主持有的期望值πe=πs时，货币当局设定的π略高于πs的边际成本刚好抵消掉意料外通货膨胀的边际利益。在这一子博弈精炼解中，货币当局被预测到要实施通货膨胀，并且事实上也是如此，但如果它能承诺不实行通货膨胀政策就可提高其福利水平。事实上，如果雇主们持有理性预期（即π+πe），零通货膨胀率将使货币当局的收益达到最大（即当π=πe时，W（π，πe）=-cπ2-（b-1）2y*2，这时π=0是最优的）。
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现在考虑双方参与者的贴现因子都为δ时无限重复博弈的情况。我们将导出双方的下述战略成为子博弈精炼纳什均衡的条件，从而使每一阶段π=πe=0。在第一阶段，雇主们持有预期πe=0，在其后各阶段，如果所有前期的预期πe都为0并且所有前期的真实通货膨胀率π也都为0，则持有预期πe=0，否则，雇主持有预期πe=πs——从阶段博弈导出的理性预期。相似地，在当期预期πe=0并且所有以前的预期πe都为0，且所有以前的真实通货膨胀率π都为0时，货币当局选择令π=0的货币供给；否则，货币当局设定π=π*（πe）——对雇主期望值的最优反应，正如（2.3.8）给出的。
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假设雇主们在第一阶段持有的通货膨胀预期为πe=0。给定雇主们的战略（即在雇主们观测到真实的通货膨胀水平之后对其预期的调整方式），货币当局可以只集中考虑对如下两个方案的选择：（1）π=0，它将使下一阶段的πe=0，从而使货币当局在下一阶段仍可面临同样的选择；及（2）从（2.3.8）式计算得出的阶段最优选择π=π*（0），它将使得此后所有的πe=πs，这种情况下货币当局将发现此后永远选择π=πs也是最优的。在本期选择π=0可使得每一期的收益均为W（0，0），而在本期选择π=π*（0）可使本期的收益为W（π*（0），0），但其后每期的收益永远为W（πS，πs）。从而，当下式成立时，货币当局的战略是雇主调整方式的最优反应：
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此式与（2.3.6）是类似的。
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通过对（2.3.9）的简化可得δ≥c/（2c+d2）。参数c和d都起到两方面的效果。例如，在d增大时，可使意料之外的通货膨胀对产出影响的效果增大，但同样的原因d的增大又使得阶段博弈的解πs增大，后者又增大了惩罚对货币当局的效果。类似地，c的增大使得通货膨胀更为痛苦。从而使意料外通货膨胀吸引力减小，但同时又使πs下降。在两种情况下，后一作用都超过了前一影响，因而贴现因子的临界值也必须支持这一均衡：c/（2c+d2）随d的增大而递减，随c而递增。
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至此，我们已证明了如果（2.3.9）式成立，货币当局的战略是雇主战略的最优反应。要证明这一组战略是纳什均衡，还须证明后者是前者的最优反应。我们可以看到，根据这一战略，雇主们每一期都可得到其最优的可能收益（即为0），因此雇主的战略是最优战略。证明这一组战略是子博弈精炼的程序与上一节相似。
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博弈论基础 2.4 完全非完美信息动态博弈
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博弈论基础 [:1704417412]
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2.4.A 博弈的扩展式表述
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在第1章我们运用博弈的标准式表述分析了静态博弈，这里我们引入博弈的扩展式表述并用它分析动态博弈。[18]这一解释方法可能会给人一个印象，那就是静态博弈一定要用标准式表述，动态博弈一定要用扩展式表述。但这是一种误解，任何博弈都既可以用标准式表述，又可以用扩展式表述，尽管对某些博弈来讲，用其中一种表述形式分析起来较另外一种要方便一些。我们将讨论如何利用扩展形式表述一个静态博弈，以及如何利用标准式来表述一个动态博弈。
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在第1.1.A节曾经讲过，一个博弈的标准式表述包含的要素有：（1）博弈的参与人；（2）每一参与人可供选择的战略，及（3）与参与者可能选择的每一战略组合相对应的各个参与者的收益。
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定义 一个博弈的扩展式表述包括：（1）博弈中的参与人；（2a）每一参与者在何时行动；（2b）每次轮到某一参与者行动时，可供他选择的行动；（2c）每次轮到某一参与者行动时，他所了解的信息；及（3）与参与者可能选择的每一行动组合相对应的各个参与者的收益。
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事实上，在第2.1到2.3节我们已经分析过几个用扩展式表述的博弈，尽管当时没有明确这一概念。本节的主要内容是引入博弈树描述博弈的扩展式，而不是文字描述，因为前者在通常情况下更便于表示和分析。
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图2.4.1
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作为博弈扩展式表述的一个例子，考虑属于第2.1.A节介绍过的完全且完美信息两阶段博弈的一个具体例子：
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1.参与者1从可行集A1={L，R}中选择行动a1；
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2.参与者2观测到a1，然后从可行集A2={L’，R’}中选择行动a2；