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2.6 在一个由三个寡头垄断者操纵的市场，反需求函数由P（Q）=a-Q给出，这里Q=q1+q2+q3，qi表示企业i生产的产量。每一企业生产的边际成本为常数c，并且没有固定成本。企业按以下顺序进行产出决策：（1）企业1选择q1≥0；（2）企业2和3观测到q1，并同时分别选择q2和q3。求出此博弈的子博弈精炼解。
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2.7 假设一个工会是一寡头垄断市场中所有企业惟一的劳动力供给者，就像汽车工人联合会（United Auto Workers）对于通用、福特、克莱斯勒等大的汽车厂家。令博弈各方行动的时间顺序类似于第2.1.C节的模型：（1）工会确定单一的工资要求w，适用于所有的企业；（2）每家企业i了解到（并接受）w，然后同时分别选择各自的雇佣水平Li；（3）工会的收益为（w-wa）L其中wa为工会成员到另外行业谋职可取得的收入，L=L1+…+Ln为工会在本行业企业的总就业水平；企业i的利润为π（w，Li），其中决定企业i利润水平的要素如下。
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所有企业都有同样的生产函数：产出等于劳动力；qi=Li。市场总产出为Q=q1+…+qn时的市场出清价格为p（Q）=a-Q。为使问题简化，假设企业除工资支出外没有另外的成本。请求出此博弈的子博弈精炼解。在子博弈精炼解中，企业的数量是如何（以及为什么）影响工会效用的？
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2.8 根据拉齐尔（1989），对第2.2.D节的工作竞赛模型修改如下：令工人i的产出为yi=ei-（1/2）sj+εi，其中sj≥0代表了工人的故意破坏；并且工人i由于（生产及破坏）付出努力产生的负效用为g（ei）+g（si）证明最优的奖励水平wH-wL要小于（书中）不考虑进行破坏的情况。
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2.9 考虑两个国家，在时点1，两国的关税都非常高，以致根本没有贸易。在每一个国家内，工资和就业的决定与第2.1.C节垄断工会模型相同。在时点2，所有的关税都取消了，每一工会决定本国的工资水平，但每一企业同时为两国市场生产产品。
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假定每一国家的反需求函数为P（Q）=a-Q，其中Q为该国市场上的总产量。令每一企业的生产函数为q=L，从而工资为企业的惟一成本，并且令工会的效用函数为U（w，L）=（w-w0）L，其中w0为工人另谋职业可得收入。请解出时点1博弈的逆向归纳解。
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下面考虑时点2的下述博弈。第一，两工会同时选择工资水平w1和w2，然后企业i观测到工资并选择其国内、国外市场的产出水平，i国企业的产出（内销和出口）分别用hi和ei表示。企业i所有的生产都在本国，于是总成本为wi（hi+ei）解出子博弈精炼解。证明工资、就业和利润（并且由此决定的工会效用和消费者剩余）在关税取消后都提高了。参见Huizin-ga（1989）同类问题的其他例子。
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博弈论基础 [:1704417418]
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第2.3节
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2.10 下图所示的同时行动博弈重复进行两次，并且第二阶段开始前双方均可观测到第一阶段的结果，不考虑贴现因素。变量x大于4，因而（4，4）在一次性博弈中并不是一个均衡收益。对什么样的x，（双方参与者同时采取）下述战略是一个子博弈精炼纳什均衡？
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第一阶段选择Qi，如果第一阶段的结果为（Q1，Q2），在第二阶段选择Pi；如果第一阶段的结果为（y，Q2），其中y≠Q1，第二阶段选择Ri；如果第一阶段的结果为（Q1，z），其中z≠Q2第二阶段选择Si；如果第一阶段结果为（y，z），其中y≠Q1且z≠Q2，则在第二阶段选择Pi。
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2.11 下图的同时行动博弈重复进行两次，第二阶段开始前参与双方可以观测到第一阶段的结果。不考虑贴现因素。在一个纯战略子博弈精炼纳什均衡中，能否在第一阶段达到（4，4）的收益？如果可以，给出相应的战略。如果不能，证明为什么。
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2.12 何为一个重复博弈的战略？何为重复博弈的子博弈？何为子博弈精炼纳什均衡？
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2.13 回顾习题1.7中静态贝特兰德双头垄断模型（同类产品）：企业同时给产品定价；对企业i产品的需求，如果pi＜pj，为a-pi；如果pi＞pj，为0；如果pi=pj，则为（a-pj）/2；边际成本为c＜a。考虑基于上述阶段博弈的无限重复博弈。证明在一个子博弈精炼纳什均衡中，当且仅当δ＞1/2时，企业可以使用触发战略（只要发生任何背离，就永远转向阶段博弈的纳什均衡）以维持垄断条件下的价格水平。
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2.14 假设在习题2.13中的无限重复贝特兰德博弈中的需求随机波动：在每一阶段，需求函数的截距是aH的概率为π；是aL（aL＜aH）的概率为1-π；不同阶段间的需求相互独立。假设每一阶段两企业在选择当期价格之前都可以观测到本期的需求水平。两种需求水平下的垄断价格（pH和pL分别是多少？
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解出δ*，使得在子博弈精炼纳什均衡中，两企业能够采用触发战略维持上述垄断价格水平（即对i=H，L，需求为ai时选择价格pi）的最小贴现因子δ的值。并对处于1/2和δ*之间的所有δ，求出最高价格p（δ），使得在子博弈精炼纳什均衡中，企业可通过运用触发战略，在高需求水平时维持价格p（δ），在低需求水平时维持价格pL。（参见罗滕贝格和萨隆纳，1986）
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2.15 假设在一个古诺寡头垄断中有n个企业。反需求函数由P（Q）=a-Q给出，其中Q=q1+…+qn。考虑基于这一阶段博弈的无限重复博弈。求出最小的δ值，使得在子博弈精炼纳什均衡中企业能够运用触发战略维持垄断产出水平。这一结果随n的变化将如何变化？为什么？如果δ非常之小，以致企业无法通过采用触发战略来维持垄断产出，求出能够通过触发战略维持住的、使利润最大化的相应的子博弈精炼纳什均衡。
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2.16 在第2.1.C节分析的工资和就业模型中，逆向归纳解对社会来讲并不是有效率的。并且在实践中，企业和工会今天就一个3年期合同的条款进行谈判，并将在3年以后再就下一期的合同条款进行谈判，如此等等。从而，两者之间的关系用重复博弈来表示可能更为准确，参见（埃斯皮诺萨和里，1989）。
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这个问题可导出在无限重复博弈中子博弈精炼纳什均衡帕累托优于一次性博弈中逆向归纳解的条件。分别用U*和π*表示一次性博弈逆向归纳解中工会效用和企业利润。考虑另外的一个工资——就业组合（w，L）以及与之相应的效用——利润组合（U，π），假设双方的贴现因子都是δ（每3年为一个阶段），请推导（w，L）应满足的条件，使得（l）（U，π）帕累托优于（U*，π*）且（2）（U，π）为无限重复博弈的一个子博弈精炼纳什均衡的结果，其中只要发生任何偏离就将永远转向（U*，π*）。
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2.17 考虑如下的一家企业和一系列工人之间的无限期博弈，每名工人只出现在一个阶段。在每一阶段工人选择努力工作，这时努力成本为c，生产的产出为y；或不做任何努力，也没有任何产出，不发生任何成本。如果生产出了产出，企业拥有成果但可以通过支付工资的方式与工人分享，具体方法将在后面提到。假定在一个阶段的开始工人可选择另外的就业机会，（减去努力成本的）净价值为0，并且工人不能被强迫接受一个小于0的工资。同时假定y＞c，从而努力工作是有效率的。
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在每一阶段内，博弈进行的时间顺序如下：首先工人选择一个努力水平，然后企业和工人都可以观察到产出的情况，最后企业选择支付给工人的工资水平。假定事先不能达成任何有约束力的工资协议：企业选择的工资是完全不受限制的。那么，在单一阶段的博弈中，子博弈精炼意味着无论工人的产出如何，企业给出的工资都为0，于是工人也不会进行任何努力。
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现在考虑无限期时的情况，我们已提到每个工人只出现在一个阶段。不过我们可以假定在阶段t的开始，博弈前面t-1个阶段的进行过程都可被将在t阶段工作的工人观测到（可以想象到，这些知识在工人之间代代相传）。假设企业未来收益每一阶段的贴现因子为δ。写出无限期博弈中一个子博弈精炼均衡下企业和每个工人的战略，使得对足够大的贴现因子δ，在均衡情况下，每个工人都努力工作，生产出产出y，并给出上述均衡存在的充分必要条件。
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