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2.13 回顾习题1.7中静态贝特兰德双头垄断模型（同类产品）：企业同时给产品定价；对企业i产品的需求，如果pi＜pj，为a-pi；如果pi＞pj，为0；如果pi=pj，则为（a-pj）/2；边际成本为c＜a。考虑基于上述阶段博弈的无限重复博弈。证明在一个子博弈精炼纳什均衡中，当且仅当δ＞1/2时，企业可以使用触发战略（只要发生任何背离，就永远转向阶段博弈的纳什均衡）以维持垄断条件下的价格水平。
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2.14 假设在习题2.13中的无限重复贝特兰德博弈中的需求随机波动：在每一阶段，需求函数的截距是aH的概率为π；是aL（aL＜aH）的概率为1-π；不同阶段间的需求相互独立。假设每一阶段两企业在选择当期价格之前都可以观测到本期的需求水平。两种需求水平下的垄断价格（pH和pL分别是多少？
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解出δ*，使得在子博弈精炼纳什均衡中，两企业能够采用触发战略维持上述垄断价格水平（即对i=H，L，需求为ai时选择价格pi）的最小贴现因子δ的值。并对处于1/2和δ*之间的所有δ，求出最高价格p（δ），使得在子博弈精炼纳什均衡中，企业可通过运用触发战略，在高需求水平时维持价格p（δ），在低需求水平时维持价格pL。（参见罗滕贝格和萨隆纳，1986）
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2.15 假设在一个古诺寡头垄断中有n个企业。反需求函数由P（Q）=a-Q给出，其中Q=q1+…+qn。考虑基于这一阶段博弈的无限重复博弈。求出最小的δ值，使得在子博弈精炼纳什均衡中企业能够运用触发战略维持垄断产出水平。这一结果随n的变化将如何变化？为什么？如果δ非常之小，以致企业无法通过采用触发战略来维持垄断产出，求出能够通过触发战略维持住的、使利润最大化的相应的子博弈精炼纳什均衡。
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2.16 在第2.1.C节分析的工资和就业模型中，逆向归纳解对社会来讲并不是有效率的。并且在实践中，企业和工会今天就一个3年期合同的条款进行谈判，并将在3年以后再就下一期的合同条款进行谈判，如此等等。从而，两者之间的关系用重复博弈来表示可能更为准确，参见（埃斯皮诺萨和里，1989）。
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这个问题可导出在无限重复博弈中子博弈精炼纳什均衡帕累托优于一次性博弈中逆向归纳解的条件。分别用U*和π*表示一次性博弈逆向归纳解中工会效用和企业利润。考虑另外的一个工资——就业组合（w，L）以及与之相应的效用——利润组合（U，π），假设双方的贴现因子都是δ（每3年为一个阶段），请推导（w，L）应满足的条件，使得（l）（U，π）帕累托优于（U*，π*）且（2）（U，π）为无限重复博弈的一个子博弈精炼纳什均衡的结果，其中只要发生任何偏离就将永远转向（U*，π*）。
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2.17 考虑如下的一家企业和一系列工人之间的无限期博弈，每名工人只出现在一个阶段。在每一阶段工人选择努力工作，这时努力成本为c，生产的产出为y；或不做任何努力，也没有任何产出，不发生任何成本。如果生产出了产出，企业拥有成果但可以通过支付工资的方式与工人分享，具体方法将在后面提到。假定在一个阶段的开始工人可选择另外的就业机会，（减去努力成本的）净价值为0，并且工人不能被强迫接受一个小于0的工资。同时假定y＞c，从而努力工作是有效率的。
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在每一阶段内，博弈进行的时间顺序如下：首先工人选择一个努力水平，然后企业和工人都可以观察到产出的情况，最后企业选择支付给工人的工资水平。假定事先不能达成任何有约束力的工资协议：企业选择的工资是完全不受限制的。那么，在单一阶段的博弈中，子博弈精炼意味着无论工人的产出如何，企业给出的工资都为0，于是工人也不会进行任何努力。
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现在考虑无限期时的情况，我们已提到每个工人只出现在一个阶段。不过我们可以假定在阶段t的开始，博弈前面t-1个阶段的进行过程都可被将在t阶段工作的工人观测到（可以想象到，这些知识在工人之间代代相传）。假设企业未来收益每一阶段的贴现因子为δ。写出无限期博弈中一个子博弈精炼均衡下企业和每个工人的战略，使得对足够大的贴现因子δ，在均衡情况下，每个工人都努力工作，生产出产出y，并给出上述均衡存在的充分必要条件。
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第2.4节
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2.18 对一个任意的博弈，解释其战略、信息集以及子博弈的概念。
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2.19 在第2.1.D节分析的三阶段鲁宾斯坦讨价还价模型中，我们解出了逆向归纳解。它的子博弈精炼纳什均衡是什么？
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2.20 在无限期鲁宾斯坦讨价还价模型中考虑下面的战略（注意习惯性的表示方法，开价（s，1-s）意味着参与者1将会得到s，参与者2将得到1-s，而不论是哪一方提出的条件）：令s*=1/（1+δ），参与者1坚持开价（s*，1-s*），并且只有当s≥δ·s*时，才接受对方开价（s，1-s）；参与者2坚持开价（1-s*，s*），并且只有当1-s≥δ·s*时才接受对方开价（s，1-s）。证明这两个战略是一个纳什均衡，并证明这一均衡是子博弈精炼的。
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2.21 给出第2.1节描述的手雷博弈的扩展式表述及标准式表述。并分别写出其纯战略纳什均衡、逆向归纳解和子博弈精炼纳什均衡。
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2.22 给出第2.2.B节讨论的银行挤提博弈的扩展式表述及标准式表述。其纯战略子博弈精炼纳什均衡是什么？
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2.23 一个卖方和一个买方打算进行交易。在他们交易之前，买方可以作一项投资，从而提高标的物对他的价值。这项投资不能被卖方观察到，从而也不会影响标的物对卖方的价值，后者我们标准化为0（举一个例子，设想一家企业购买另一企业，在兼并前的一段时间，兼并方可以采取措施，改变其计划推出的产品，以使之在兼并后与被兼并方的生产相配合。如果产品开发需要相当长时间，而产品生命周期又比较短，兼并之后兼并方已没有充足的时间进行此项投资了）。购买方对标的的初始价值为v＞0；一项投资I使得购买方的价值变为v+1，但相应增加了成本I2。博弈进行的时间顺序如下：首先，购买方选择投资水平I，发生成本I2；第二，卖方不能观测到I，但开出标的的卖价为p；第三，买方或者接受，或者拒绝卖方的开价：如果买方接受，则买方的收益为v+1-p-I2，卖方的收益为；如果拒绝，则双方的收益分别为-I2和0。证明这一博弈不存在纯战略子博弈精炼纳什均衡。解出博弈的混合战略纳什均衡，其中买方的混合战略中，出现概率为正的只有两种投资水平，并且卖方的混合战略中，出现概率为正的只有两个价格水平。
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博弈论基础 2.7 参考文献
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