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[10] 为使对这一应用的分析保持简洁，我们略去了几个技术细节，比如保证工人的一阶条件充分性的条件。不过，分析过程仍比前面的例子涉及到更多的概率论知识。读者也可以跳过这一应用，而不会影响理解的连贯性。
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[11] 在（2.2.4）式中，我们隐含了一个前提，即假定随机扰动项的密度f（ε）满足两个工人产出水平刚好相等的概率为0，从而在求得工人i期望效用时不必考虑这种情况。（较正式地说，我们假定密度函数f（ε）没有奇点）在对工作竞赛的完全分析中，专门分析由掷硬币决定优胜者或（在本模型中是等价的）每个工人得到（wH+wL）/2的情况是十分自然的（但对结果却无关紧要）。
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[12] 贝叶斯法则提供了求p（A|B）的公式，即给定事件B已经发生条件下事件A发生的（条件）概率。令p（A）、p（B）和p（A，B）分别表示A发生、B发生和A、B同时发生的（先验）概率（即A和B都没有机会发生前的主观概率）。贝叶斯法则证明p（A|B）=p（A，B）/p（B）。也就是说，B发生时A发生的条件概率等于A和B同时发生的概率除以B发生的先验概率。
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[13] 在阶段博弈G为完全信息动态博弈时类似结论同样成立。设G属于第2.1.A节所定义的完全且完美信息动态博弈，如果G有惟一的逆向归纳解，则G（T）有惟一的子博弈精炼解：其中每一阶段的结果都是G的逆向归纳解。类似地，设G为第2.2.A节定义的两阶段博弈，如果G有惟一的子博弈精炼解，则G（T）也有惟一的子博弈精炼解：G的子博弈精炼解重复进行T次。
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[14] 严格地讲，我们只针对第2.2.A节定义的博弈类型定义了子博弈精炼解，两阶段囚徒困境属于这一类型，因为对每一个第一阶段博弈的可行结果，其余第二阶段博弈都有惟一的纳什均衡。而基于图2.3.3为阶段博弈的两阶段重复博弈不属于这一类型，因为其阶段博弈有多个纳什均衡。这里，我们不对子博弈精炼解的定义进行专门扩展，使之适用于所有两阶段博弈，其一因为定义所需的变动极微；其二，在第2.3.B节和第2.4.B节中将会用到更为一般的定义。
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[15] 之所以说不严格，因为“重新谈判”意味着在第一阶段和第二阶段中间发生了交流（甚至是讨价还价）。如果此类行为是允许的，则它们应包含在对博弈的定义及分析之中。这里我们假定没有此类行为发生，因而“重新谈判”在此可理解为在内心对局势的分析。
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[16] 开始时的无名氏定理分析了一个有限重复博弈的全部纳什均衡的收益。这一结论被称为无名氏定理，是因为尽管无人发表，但在50年代就已广为博弈论学者所知。弗里德曼（1971）的定理则分析了有限重复博弈的特定子博弈精炼纳什均衡的收益，由于应用了子博弈精炼纳什均衡，这一较纳什均衡条件更强的均衡概念，因而较当初的无名氏定理条件更强。不过当初的名字依然沿用下来：弗里德曼的定理（和此后的结论）有时称为无名氏定理，尽管在它们公开发表之前并未被博弈论学者所周知。
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[17] 我们当然也可以基于一个动态阶段博弈定义一个重复博弈，本节我们将讨论限于静态的阶段博弈是为了尽可能简单地说明主要原理。在第2.3.D和第2.3.E节的应用中就有基于动态阶段博弈的重复博弈。
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[18] 本书只给出扩展式的非正式描述，要进一步了解精确的理论，请参考克雷普斯和威尔逊（1982）。
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[19] 这种用是否单节信息集区分完美信息和非完美信息的方法只限于完全信息的博弈，因为第4章将会讲到，完美但非完全信息博弈的扩展式表述就含有非单节的信息集，不过，在本章中，我们只讨论完全信息的情况。
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[20] 为构建一个子博弈精炼纳什均衡，首先选定包含原博弈树终点节的所有的最小的子博弈（如果一个子博弈不再包含其他任何子博弈，该子博弈就是最小的）。其后，用这些子博弈的一个纳什均衡收益在原博弈树中替换掉这些子博弈，并把这些子博弈的初始节看成原博弈的终点节。选定包含了简化后博弈树所有终点节的最小的子博弈，并用这些子博弈的一个纳什均衡收益代替这些子博弈。用此方法从树的最末端逆推就可得到一个子博弈精炼纳什均衡，因为参与者的战略在每一个子博弈中都构成了纳什均衡（事实上，还是子博弈精炼纳什均衡）。
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博弈论基础 第3章 非完全信息静态博弈
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从本章开始，我们研究 非完全信息博弈 ，有时也称为 贝叶斯博弈 。前面讲过，在一个完全信息博弈中，参与者的收益函数是共同知识；而在非完全信息博弈中，与之相反，至少有一个参与者不能确定另一参与者的收益函数。非完全信息静态博弈的一个常见例子是密封报价拍卖（sealed-bid auction）：每一报价方知道自己对所售商品的估价，但不知道任何其他报价方对商品的估价；各方的报价放在密封的信封里上交，从而参与者的行动可以被看作是同时的。不过，绝大多数在经济领域非常有意思的贝叶斯博弈是动态的。我们在第4章将会看到，私人信息的存在十分自然地导致享有私人信息的一方试图去沟通（或者误导），同时也使得没有私人信息的一方试图去学习和反应。这些都是博弈中固有的动态因素。
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第3.1节给出静态贝叶斯博弈的标准式表述和贝叶斯纳什均衡的定义。由于这些定义非常抽象并有些复杂，我们通过一个简单的例子——非对称信息下的古诺竞争——介绍主要思想。
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第3.2节讨论三个应用的例子。第一，我们就第1章中给出的对混合战略的解释进行正式讨论：即参与者j的混合战略代表了I对j所选择纯战略的不确定性，并且j的选择基于他所掌握的一小点儿私人信息。第二，我们分析一个密封报价拍卖的例子，其中竞买方的估价是私人信息，但是卖方对商品的估价却为各方所周知。最后，我们考虑买方和卖方各自都掌握一定私人信息的情况（如在企业中，企业了解工人的边际产出，工人则知道自己的机会成本）。我们分析一个称为双向拍卖的交易博弈：卖方开出一个卖价，同时由买方给出一个买价；如果后者大于前者，则以两个价格的平均值成交。
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第3.3节我们给出并证明显不原理（Revelation Principle），并简要讨论其在存在私人信息时的博弈设计方面的应用。
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博弈论基础 3.1 理论：静态贝叶斯博弈和贝叶斯纳什均衡
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博弈论基础 [:1704417423]
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3.1.A 一个例子：非对称信息下的古诺竞争
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考虑如下的古诺双头模型。其中市场反需求函数由P（Q）=a-Q给出，这里Q=q1+q2为市场中的总产量。企业1的成本函数为C1（q1）=cq1，不过企业2的成本函数以θ的概率为C2（q2）=cHq2以1-θ的概率为C2（q2）=CLq2，这里cL＜cH。并且信息是不对称的：企业2知道自己的成本函数和企业1的成本函数，企业1知道自己的成本函数，但却只知道企业2边际成本为cH的概率是θ，边际成本为cL的概率是1-θ（企业2可能是新进入这一行业的企业，也可能刚刚发明一项新的生产技术）。上述一切都是共同知识：企业1知道企业2享有信息优势，企业2知道企业1知道自己的信息优势，如此等等。
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