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性别战
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现在假设尽管两人已经认识了相当一段时间,但克里斯和帕特仍不能确定对方收益函数的情况。具体地说,假定如果双方都选择歌剧克里斯的收益为2+tc,其中tc的值是克里斯的私人信息,双方都去观看拳击时帕特的收益为2+tp,其中tp的值为帕特的私人信息;tc和tp相互独立,并服从[0,x]区间上的均匀分布(至于选择[0,x]区间的均匀分布并不重要,只要记住tc和tp的值是指原博弈收益的随机扰动项,我们可以认为x是一个很小的正数)。所有其他情况下的收益不变。表述为标准式则为:静态贝叶斯博弈G={Ac,Ap,Tc,Tp,pc,pp,uc,up}中,行动空间为Ac=Ap={歌剧,拳击},类型空间为TC=TP=[0,x],关于类型的推断为对所有的tc和tp,Pc(tp)=pp(tc)=l/x收益情况如下图。
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非完全信息性别战
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我们将构建出这一非完全信息性别战博弈的纯战略贝叶斯纳什均衡,其中克里斯在tc超过某临界值c时选择歌剧,否则选择拳击;帕特在tp超过某临界值p时选择拳击,否则选择歌剧。在这一均衡中,克里斯以(x-c)/x的概率选择歌剧,帕特则以(x-p)/x的概率选择拳击。我们将证明随非完全信息的逐渐消失(即随x的值趋于0),参与者在这一纯战略贝叶斯纳什均衡中的行为,逐渐与原博弈完全信息条件下混合战略纳什均衡中的行为相一致,也就是随x的值趋于0,(x-c)/x及(x-p)/x都将趋于2/3。
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假设克里斯和帕特都采用上面所给出的战略,对一个给定的x,我们计算相应的c和p,以使双方的战略符合贝叶斯纳什均衡的条件。给定帕特的战略,克里斯选择歌剧和选择拳击的期望收益分别为
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与
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从而,当且仅当
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时选择歌剧是最优的。相似地,给定克里斯的战略,帕特选择拳击和选择歌剧的期望收益分别为
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与
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从而,当且仅当
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时,选择拳击是最优的。
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解(3.2.1)和(3.2.2)构成的方程组可得p=c及p2+3p-x=0。解此二次方程,可得到克里斯选择歌剧的概率,即(x-c)/x,以及帕特选择拳击的概率,即(x-p)/x,都等于
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