打字猴:1.704419995e+09

1704419995 可以将其简化表示为b’（vi）vi+b（vi）=vi，微分方程等式的左边恰好等于d{b（vi）vi}/dvi，对左右两方同时积分得

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1704420000 其中k为积分常数。为消除k，我们需要一个边界条件。幸运的是，很简单的经济学理性就提供了一个：没有参与者愿意出高于自己估价的投标价格。从而，我们要求对所有的vi，都有b（vi）≤vi。其一个特例是当vi=0时，我们要求b（0）≤0。由于投标价格被限制为非负，这意味着b（0）=0，于是k=0，并且b（vi）=vi/2，即前面的结论。

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1704420002 博弈论基础 [:1704417429]

1704420003 3.2.C 双向拍卖

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1704420005 下面我们考虑买方和卖方对自己的估价都存在私人信息的情况，参见查特吉和萨缪尔森（Chatterjee&Samuelson，1983）。（在霍尔（Hall）和拉齐尔，1984）的文献中，买方为一家企业，卖方为一个工人，企业知道工人的边际产出，工人知道他自己的机会成本，参见习题3.8）。我们分析一个叫做双向拍卖的交易博弈，卖方确定一个卖价ps，买方同时给出一个买价pb。如果pb≥ps，则交易以p=（pb+ps）/2的价格进行，如果pb＜ps，则不发生交易。

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1704420007 买方对标的商品的估价为vb，卖方的估价为vs，双方的估价都是私人信息，并且服从[0，1]区间的均匀分布。如果买方以价格p购得商品，则可获得vb-p的效用；如果交易不能进行，买方的效用为0。如果卖方以价格售出商品，则可得到p-vs的效用；如果交易不能进行，卖方的效用亦为0（双方的效用函数都是衡量因交易而带来的效用变化，如果交易没有发生，则双方效用均没有变化。我们也可以把卖方效用定义为：当以价格p成交时效用为p，交易不发生时效用为vs，两者并不存在实质区别）。

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1704420009 在这一静态贝叶斯博弈中，买方的一个战略是函数pb（vb），明确了买方在每一可能的类型下将会给出的买价。相似地，卖方的一个战略是函数ps（vs），明确了卖方在不同的估价情况下将出的卖价。如果以下的两个条件成立，战略组合{pb（vb），ps（vs）}即为博弈的贝叶斯纳什均衡：对[0，1]区间内的每一vb，pb（vb）应满足

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1704420014 其中E[ps（vs）|pb≥ps（vs）]为在卖方价格小于买方价格的条件下，卖方价格的期望值。对[0，1]区间的每一vs，ps（vs）应满足

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1704420019 其中E[pb（vb）|pb（vb）≥ps]为在买方价格大于卖方价格ps的条件下，买方价格的期望值。

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1704420021 此博弈有非常多的贝叶斯纳什均衡，作为一个例子，考虑下面的单一价格均衡，即如果交易发生，交易价格就只是单一的价格。对区间[0，1]上的许多x，令买方的战略为：如果vb≥x，则出买价x，其他情况下出价为0；同时令卖方的战略为：如果vs≤x，则出卖价为x，其他情况下出卖价为1。给定买方的战略，卖方只能在以价格x成交或不能成交之间进行选择，这样卖方战略就是买方战略的最优反应，因为如果卖方的估价小于x，他更愿意以价格x成交，而不希望没有交易，即成交是他的最优反应；反之亦然。相似的分析还可以证明，买方战略也是卖方战略的最优反应，从而可证明上述战略为博弈的一个贝叶斯纳什均衡。在这一均衡结果下，图3.2.1标出区域内的（vs，vb）组合都会发生交易；而对所有vb≥vs的（vs，vb）组合来讲，交易都是有效率的，但图中阴影部分虽满足效率条件，却没有发生交易。

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1704420026 图3.2.1

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1704420028 现在我们推导双向拍卖的一个线性的贝叶斯纳什均衡。仍如上节强调的，我们并没有限制参与者的战略空间，使之只包含线性战略；而仍允许参与者任意选择战略，看是否存在一个均衡，双方战略都是线性的。除单一价格均衡和线性均衡之外，博弈还存在许多其他均衡，但线性均衡有着有趣的效率特性，我们将在后面进行分析。

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1704420030 假设卖方的战略为ps（vs）=as+csvs，则ps服从区间[as，as+cs]上的均匀分布，于是（3.2.3）可化为

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